حاسبة المتجهات

أدخل الحساب

المتجه A — X

المتجه A — Y

المتجه A — Z

المتجه B — X

المتجه B — Y

المتجه B — Z

صيغة رياضية

Show calculation steps (4)

1. Magnitude of A

   

   Length of vector A

2. Magnitude of B

   

   Length of vector B

3. Cross Product

   

   Vector cross product A x B with components Cx, Cy, Cz

4. Angle Between Vectors

   

   Angle in degrees between A and B from the dot product

نتائج

الضرب القياسي (A · B)

٣٢

كمية قياسية

مقدار المتجه A	٣٫٧٤١٧
مقدار المتجه B	٨٫٧٧٥
الضرب الاتجاهي A × B	(؜-٣, ٦, ؜-٣)
مقدار A × B	٧٫٣٤٨٥
الزاوية بين A و B	١٢٫٩٣°

ما هي حاسبة المتجهات؟

تعمل حاسبة المتجهات هذه مع متجهين ثلاثيي الأبعاد هما A و B، ويُعرَّف كل منهما بمركباته X و Y و Z. انطلاقًا من هذه الأرقام الستة، تحسب الأداة أكثر الكميات المتجهة استخدامًا في الرياضيات والفيزياء والهندسة: مقدار (طول) كل متجه، والضرب القياسي (النقطي)، والضرب الاتجاهي (التقاطعي)، والزاوية المحصورة بين المتجهين. إنها أداة رياضية عالمية لا تفترض أي نظام وحدات أو نطاق جغرافي محدد.

طريقة الاستخدام

أدخل المركبات X و Y و Z لكل من المتجه A والمتجه B. استخدم القيمة 0 لأي مركبة لا تحتاجها (وللتعامل مع متجه ثنائي الأبعاد، اجعل قيمة Z تساوي 0). اضغط على زر الحساب فيظهر لك الضرب القياسي مميزًا، إضافةً إلى تفصيل لمقدار كل متجه، ومتجه الضرب الاتجاهي ومقداره، والزاوية بين A و B مقدَّرة بالدرجات.

شرح المعادلات

مقدار المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته:

$$\lVert v\rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$

أما الضرب القياسي فيضرب المركبات المتناظرة ثم يجمعها:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

ويرتبط بالزاوية \(\theta\) عبر العلاقة \(\vec{a}\cdot\vec{b} = |a||b|\cos\theta\). ويُنتج الضرب الاتجاهي متجهًا جديدًا عموديًّا على المتجهين المدخلين، مركباته هي

$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)$$

اعلان

الضرب الاتجاهي A×B ينتج متجهًا عموديًا على كليهما وفق قاعدة اليد اليمنى.

متجهان A وB يشتركان في نقطة أصل واحدة، والزاوية θ بينهما على المحاور x وy وz.

مثال محلول

لنفترض أن A = (1, 2, 3) وأن B = (4, 5, 6). الضرب القياسي

$$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

والمقدار

$$\lVert A\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417$$$$\lVert B\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750$$

أما الضرب الاتجاهي

$$= (2\cdot 6 - 3\cdot 5,\ 3\cdot 4 - 1\cdot 6,\ 1\cdot 5 - 2\cdot 4) = (-3, 6, -3)$$

ومقداره

$$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485$$

والزاوية

$$= \arccos\!\left(\frac{32}{3.7417\cdot 8.7750}\right) \approx 12.93°$$

الأسئلة الشائعة

هل يمكنني استخدام متجهات ثنائية الأبعاد؟ نعم — اجعل المركبة Z مساوية للصفر في كلا المتجهين، وستظل المعادلات صحيحة تمامًا.

ماذا يخبرني الضرب الاتجاهي؟ يعطيك متجهًا عموديًّا على المتجهين المدخلين، ومقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه.

ماذا لو كان أحد المتجهين صفريًّا؟ سيكون المقدار 0 وتصبح الزاوية غير معرَّفة، ولذلك تُظهر هذه الأداة الزاوية بقيمة 0 في هذه الحالة.