벡터 계산기란?
이 벡터 계산기는 X, Y, Z 성분으로 정의된 두 개의 3차원 벡터 A와 B를 다룹니다. 입력한 여섯 개의 숫자만으로 수학, 물리학, 공학에서 가장 자주 쓰이는 벡터 값들을 한 번에 구할 수 있습니다. 각 벡터의 크기(길이), 내적, 외적, 그리고 두 벡터 사이의 사잇각까지 계산합니다. 특정 국가나 단위계에 얽매이지 않는, 어디서나 통용되는 보편적인 수학 도구입니다.
사용 방법
벡터 A와 벡터 B의 X, Y, Z 성분을 각각 입력하세요. 필요 없는 성분은 0으로 두면 됩니다(2차원 벡터를 쓰려면 Z를 0으로 설정하세요). 계산 버튼을 누르면 강조 표시된 내적 값과 함께, 두 벡터의 크기, 외적 벡터와 그 크기, 그리고 A와 B 사이의 사잇각(도 단위)이 정리되어 나타납니다.
공식 풀이
벡터의 크기는 각 성분을 제곱해 더한 값의 제곱근입니다: $$\lVert v \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$ 내적은 같은 위치의 성분끼리 곱한 뒤 모두 더한 값으로, $$\vec{A}\cdot\vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z$$ 이며, 사잇각 \(\theta\)와는 \(\vec{A}\cdot\vec{B} = \lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\) 의 관계로 연결됩니다. 외적은 두 입력 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터를 만들어 내며, 그 성분은 $$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\ \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\ \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ 입니다.
예제로 보는 계산
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6)이라고 해 봅시다. 내적 \(= 1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 = 4 + 10 + 18 = 32\). \(\lVert A \rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\), \(\lVert B \rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\). 외적 \(= (2\cdot6 - 3\cdot5,\ 3\cdot4 - 1\cdot6,\ 1\cdot5 - 2\cdot4) = (-3, 6, -3)\)이고, 그 크기는 \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\) 입니다. 사잇각 \(= \arccos\!\left( \dfrac{32}{3.7417\cdot8.7750} \right) \approx 12.93°\) 입니다.
자주 묻는 질문
2차원 벡터도 계산할 수 있나요? 네, 두 벡터의 Z 성분을 모두 0으로 두면 공식이 그대로 정확하게 적용됩니다.
외적은 무엇을 알려주나요? 두 입력 벡터 모두에 수직인 벡터를 알려주며, 그 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다.
벡터가 영벡터이면 어떻게 되나요? 크기는 0이 되고 사잇각은 정의되지 않습니다. 이 경우 본 계산기는 사잇각을 0으로 표시합니다.
