Calculateur de vecteurs

Entrez le calcul

Vecteur A — X

Vecteur A — Y

Vecteur A — Z

Vecteur B — X

Vecteur B — Y

Vecteur B — Z

Formule

Show calculation steps (4)

1. Magnitude of A

   

   Length of vector A

2. Magnitude of B

   

   Length of vector B

3. Cross Product

   

   Vector cross product A x B with components Cx, Cy, Cz

4. Angle Between Vectors

   

   Angle in degrees between A and B from the dot product

Résultats

Produit scalaire (A · B)

32

scalaire

Norme de A	3,7417
Norme de B	8,775
Produit vectoriel A × B	(-3, 6, -3)
Norme de A × B	7,3485
Angle entre A et B	12,93°

Qu'est-ce que le calculateur de vecteurs ?

Ce calculateur de vecteurs travaille avec deux vecteurs tridimensionnels, A et B, chacun défini par ses composantes X, Y et Z. À partir de ces six nombres, il détermine les grandeurs vectorielles les plus utilisées en mathématiques, en physique et en ingénierie : la norme (longueur) de chaque vecteur, le produit scalaire, le produit vectoriel et l'angle formé par les deux vecteurs. C'est un outil mathématique universel — il ne suppose aucun pays ni système d'unités particulier.

Comment l'utiliser

Saisissez les composantes X, Y et Z du vecteur A et du vecteur B. Mettez 0 pour toute composante dont vous n'avez pas besoin (pour un vecteur en 2D, fixez Z à 0). Cliquez sur « calculer » : le produit scalaire s'affiche en évidence, accompagné du détail des normes, du vecteur produit vectoriel, de sa norme et de l'angle entre A et B exprimé en degrés.

Les formules expliquées

La norme d'un vecteur est la racine carrée de la somme de ses composantes au carré : \(\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Le produit scalaire multiplie les composantes correspondantes puis les additionne :

$$\vec{A}\cdot\vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z$$

et il est lié à l'angle \(\theta\) par la relation \(\vec{A}\cdot\vec{B} = \lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\). Le produit vectoriel engendre un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, de composantes

$$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\ \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\ \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$

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Le produit vectoriel A×B donne un vecteur perpendiculaire aux deux, selon la règle de la main droite.

Deux vecteurs A et B partageant une origine, avec l'angle θ entre eux sur les axes x, y, z.

Exemple résolu

Soit \(A = (1, 2, 3)\) et \(B = (4, 5, 6)\). Produit scalaire :

$$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

\(\lVert A\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417\), \(\lVert B\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8{,}7750\). Produit vectoriel :

$$(2\cdot 6 - 3\cdot 5,\ 3\cdot 4 - 1\cdot 6,\ 1\cdot 5 - 2\cdot 4) = (-3, 6, -3)$$

de norme \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485\). L'angle :

$$\theta = \arccos\!\left( \frac{32}{3{,}7417\cdot 8{,}7750} \right) \approx 12{,}93^\circ$$

Questions fréquentes

Puis-je utiliser des vecteurs en 2D ? Oui — fixez la composante Z à 0 pour les deux vecteurs et les formules restent parfaitement valables.

Que m'indique le produit vectoriel ? Il fournit un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ ; sa norme est égale à l'aire du parallélogramme qu'ils délimitent.

Et si un vecteur est nul ? Sa norme vaut 0 et l'angle n'est pas défini ; dans ce cas, l'outil affiche un angle de 0.