Qu'est-ce que le calculateur de composantes d'un vecteur ?
Cet outil décompose un vecteur en deux dimensions, exprimé sous forme polaire (une norme et un angle de direction), en ses composantes rectangulaires x et y. Il est couramment utilisé en physique, en ingénierie, en navigation et en infographie, chaque fois qu'une force, une vitesse ou un déplacement doit être projeté sur deux axes perpendiculaires.
Comment l'utiliser
Saisissez la norme du vecteur (sa longueur, \(r\)) ainsi que son angle de direction (\(\theta\)). Indiquez si l'angle est exprimé en degrés ou en radians, puis lisez directement les composantes x et y. L'angle se mesure dans le sens trigonométrique (antihoraire) à partir de l'axe des x positifs, conformément à la convention mathématique habituelle.
La formule expliquée
Un vecteur de longueur \(r\) orienté selon l'angle \(\theta\) se projette sur les axes de la façon suivante :
$$x = r \cdot \cos(\theta) \quad \text{et} \quad y = r \cdot \sin(\theta)$$
Le cosinus donne la part de la longueur portée par l'axe horizontal, tandis que le sinus donne celle portée par l'axe vertical. Placées à angle droit, ces deux composantes se recombinent pour reconstituer le vecteur d'origine — ce que confirme le théorème de Pythagore : \(\sqrt{x^2 + y^2} = r\).
Exemple concret
Supposons une force de norme \(r = 10 \text{ N}\) orientée selon \(\theta = 30°\). On obtient alors $$x = 10 \cdot \cos(30°) = 10 \cdot 0{,}86603 \approx 8{,}6603 \text{ N}$$ et $$y = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5 \text{ N}.$$ Le vecteur force vaut donc environ (8,66 ; 5,00).
Foire aux questions
À partir de quelle direction l'angle est-il mesuré ? Dans le sens antihoraire, à partir de l'axe des x positifs (convention mathématique standard).
Puis-je utiliser les radians ? Oui — il suffit de choisir l'unité « Radians » pour l'angle. Par exemple, \(\theta = \pi/2 \approx 1{,}5708\) donne \(x = 0\) et \(y = r\).
Et si mon angle est négatif ou supérieur à 360° ? Les fonctions trigonométriques acceptent n'importe quel angle : les valeurs négatives ou très grandes fonctionnent parfaitement et se ramènent simplement à un tour de cercle.
