Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme (la longueur) vaut exactement 1 et qui pointe dans la même direction que le vecteur d'origine. Transformer un vecteur en son vecteur unitaire s'appelle la normalisation. Les vecteurs unitaires sont incontournables en physique, en infographie, en apprentissage automatique et en ingénierie, dès que seule la direction importe et non la longueur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes x et y de votre vecteur, ainsi que la composante z si vous travaillez en trois dimensions (laissez z vide ou à 0 pour un vecteur 2D). Le calculateur détermine la norme, puis divise chaque composante par celle-ci afin d'obtenir le vecteur unitaire.
La formule expliquée
On commence par calculer la norme à l'aide du théorème de Pythagore généralisé à plusieurs dimensions :
$$\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}$$On divise ensuite chaque composante par cette norme :
$$\hat{u} = \left(\frac{v_x}{\lVert \vec{v} \rVert},\ \frac{v_y}{\lVert \vec{v} \rVert},\ \frac{v_z}{\lVert \vec{v} \rVert}\right)$$Le vecteur résultant a toujours une longueur de 1. Le vecteur nul, lui, ne peut pas être normalisé car sa norme vaut 0.
Exemple concret
Prenons le vecteur \(\vec{v} = (3,\ 4,\ 0)\). Sa norme vaut
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$En divisant chaque composante par 5, on obtient le vecteur unitaire \(\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ 0\right) = (0{,}6\ ;\ 0{,}8\ ;\ 0)\). On peut le vérifier :
$$\sqrt{0{,}6^{2} + 0{,}8^{2}} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1 \checkmark$$Foire aux questions
Un vecteur unitaire peut-il avoir une longueur différente de 1 ? Non : par définition, un vecteur unitaire a toujours une norme égale à 1 exactement (aux arrondis près).
Et si mon vecteur est \((0,\ 0,\ 0)\) ? Le vecteur nul n'a aucune direction et sa norme vaut 0 : il ne peut donc pas être normalisé. Dans ce cas, l'outil renvoie des zéros.
Cela fonctionne-t-il pour les vecteurs 2D ? Oui. Il suffit de laisser le champ z à 0 et le calculateur traite le vecteur comme un vecteur 2D.
