단위 벡터란?
단위 벡터는 크기(길이)가 정확히 1이면서 원래 벡터와 같은 방향을 가리키는 벡터입니다. 벡터를 단위 벡터로 바꾸는 과정을 정규화(normalization)라고 부릅니다. 단위 벡터는 크기는 중요하지 않고 방향만 필요한 상황에서 핵심적으로 쓰이며, 물리학·컴퓨터 그래픽스·머신러닝·공학 등 다양한 분야에서 활용됩니다.
계산기 사용 방법
벡터의 x 성분과 y 성분을 입력하고, 3차원으로 계산한다면 z 성분도 함께 입력하세요(2D 벡터라면 z는 비워 두거나 0으로 두면 됩니다). 계산기가 벡터의 크기를 구한 뒤 각 성분을 그 크기로 나눠 단위 벡터를 만들어 줍니다.
공식 풀이
먼저 피타고라스 정리를 다차원으로 확장해 크기를 구합니다: \( |v| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}} \). 그런 다음 각 성분을 이 크기로 나눕니다:
$$\hat{u} = \frac{\vec{V}}{\lVert \vec{V} \rVert} = \frac{\left(\text{V}_x,\ \text{V}_y,\ \text{V}_z\right)}{\sqrt{\text{V}_x^{2} + \text{V}_y^{2} + \text{V}_z^{2}}}$$이렇게 얻은 벡터는 항상 길이가 1입니다. 단, 영벡터는 크기가 0이므로 정규화할 수 없습니다.
예제 풀이
벡터 \( v = (3, 4, 0) \)을 살펴봅시다. 크기는
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$입니다. 각 성분을 5로 나누면 단위 벡터
$$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ 0\right) = (0.6,\ 0.8,\ 0)$$이 됩니다. 직접 확인해 보면 \( \sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1 \) ✓ 으로 길이가 1임을 알 수 있습니다.
자주 묻는 질문
단위 벡터의 길이가 1이 아닐 수도 있나요? 아니요. 정의상 단위 벡터의 크기는 항상 정확히 1입니다(반올림 오차 제외).
벡터가 (0,0,0)이면 어떻게 되나요? 영벡터는 방향이 없고 크기가 0이므로 정규화할 수 없습니다. 이 경우 계산기는 모두 0을 반환합니다.
2D 벡터에도 사용할 수 있나요? 네. z 칸을 0으로 비워 두면 계산기가 자동으로 2D 벡터로 처리합니다.
