생일 역설이란?
생일 역설은 단 23명만 모여도 그중 두 사람의 생일이 같을 확률이 절반을 넘는다는, 직관과 어긋나는 사실을 말합니다. 사람들은 흔히 자기 자신과 생일이 같은 사람을 떠올리기 때문에 이상하게 느껴지지만, 실제 계산은 아무 두 사람이라도 생일이 겹치는 경우를 모두 따집니다. 게다가 가능한 두 명의 짝 조합은 인원이 늘수록 빠르게 많아집니다. 이는 순수한 확률 문제이므로 나라와 상관없이 어디서나 똑같이 성립합니다.
계산기 사용법
가장 작은 그룹 크기("그룹 크기 시작값")와 가장 큰 그룹 크기("그룹 크기 끝값")를 입력하고, 필요하면 1년의 날짜 수도 바꿀 수 있습니다(기본값 365일, 2월 29일을 포함하려면 366일). 계산기는 그룹 크기별로 한 행씩 표를 만들고, 각 행마다 두 가지 확률을 보여 줍니다. 하나는 누구도 생일이 겹치지 않을 확률, 다른 하나는 적어도 한 쌍이 겹칠 확률입니다. 또한 생일이 겹칠 확률이 처음으로 50%에 도달하는 인원수도 알려 줍니다.
공식
D를 1년의 날짜 수라고 합시다. n명 전원의 생일이 모두 다를 확률은, 점점 줄어드는 '남은 날짜'의 비율을 차례로 곱한 값입니다.
$$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$
적어도 한 쌍이 겹칠 확률은 간단히
$$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$
입니다. 엄청나게 큰 팩토리얼을 피하기 위해 값을 차례대로 곱해 나가며, n이 D를 넘는 순간 비둘기집 원리에 따라 '겹치지 않을 확률'은 0이 됩니다.
예제 풀이
\(D = 365\), \(n = 23\)일 때 $$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365}$$를 곱하면 \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\) 이 나오고, 따라서 \(p(23) \approx 0.507297\), 즉 약 50.73%의 확률입니다. \(n = 2\)일 때는 확률이 0.27%에 불과하지만, \(n = 50\)이 되면 약 97.04%까지 치솟습니다.
공통 임계값: 주어진 확률에 대해 몇 명이 필요한가?
생일 역설이 사람들을 놀라게 하는 이유는 공유된 생일의 확률이 직관이 제시하는 것보다 훨씬 빠르게 증가하기 때문입니다. 아래 표는 \(D = 365\)일이고 균일하게 분포된 생일을 가정할 때 (윤년과 계절별 출생 패턴 무시), 공유된 생일의 확률 \(P(n)\)이 처음으로 각 공통 임계값에 도달하는 최소 그룹 크기 \(n\)을 보여줍니다.
| 목표 확률 | 그룹 크기 \(n\) | 해당 크기에서의 실제 \(P(n)\) |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11.6% |
| 50% | 23 | 50.7% |
| 90% | 41 | 90.3% |
| 95% | 47 | 95.0% |
| 99% | 57 | 99.0% |
| 99.9% | 70 | 99.92% |
가장 유명한 이정표는 단 23명으로, 공유된 생일이 그렇지 않은 것보다 가능성이 높을 만큼 충분합니다. 확률이 중간 범위를 통해 가파르게 올라간다는 점에 주목하세요 — 23명에서 50% 확률에서 불과 57명에서 거의 확실한 99%로 올라가며 — 그 후 100%에 가까워질수록 평탄해지는데, 이는 각 추가 사람이 이미 존재하는 쌍 기회에 비해 새로운 쌍 기회를 더 적게 추가하기 때문입니다.
자주 묻는 질문
왜 이렇게 일찍 50%를 넘나요? 23명이면 서로 다른 짝이 253쌍이나 만들어지고, 그 어느 한 쌍이라도 생일이 겹치면 되기 때문입니다.
윤년이나 생일이 특정 시기에 몰리는 현상은 반영되나요? 아니요. 이 계산은 365일(또는 366일)의 생일이 모두 똑같이 나올 확률을 가정합니다. 실제로 생일이 한쪽에 몰릴수록 겹칠 확률은 오히려 더 높아질 뿐입니다.
365명을 넘으면 어떻게 되나요? 반드시 생일이 겹치는 사람이 생기므로 \(p(n) = 1\) 입니다.
