Doğum Günü Paradoksu Olasılık Tablosu Hesaplayıcısı

Hesaplamaya Girin

Grup büyüklüğü (başlangıç, n)

Grup büyüklüğü (bitiş)

Bir yıldaki gün sayısı (gelişmiş) Artık günü dahil etmek için 365 (varsayılan) ya da 366 kullanın.

Sonuç

Chance of at least one shared birthday (n = 50)

97,04%

probability = 0,9704

The probability first reaches or exceeds 50% at a group of 23 people (days in year = 365).

Grup büyüklüğü n	No match p̅(n)	Eşleşme yok %	En az bir eşleşme p(n)	Eşleşme %
2	0,99726	99,73%	0,00274	0,27%
3	0,991796	99,18%	0,008204	0,82%
4	0,983644	98,36%	0,016356	1,64%
5	0,972864	97,29%	0,027136	2,71%
6	0,959538	95,95%	0,040462	4,05%
7	0,943764	94,38%	0,056236	5,62%
8	0,925665	92,57%	0,074335	7,43%
9	0,905376	90,54%	0,094624	9,46%
10	0,883052	88,31%	0,116948	11,69%
11	0,858859	85,89%	0,141141	14,11%
12	0,832975	83,3%	0,167025	16,7%
13	0,80559	80,56%	0,19441	19,44%
14	0,776897	77,69%	0,223103	22,31%
15	0,747099	74,71%	0,252901	25,29%
16	0,716396	71,64%	0,283604	28,36%
17	0,684992	68,5%	0,315008	31,5%
18	0,653089	65,31%	0,346911	34,69%
19	0,620881	62,09%	0,379119	37,91%
20	0,588562	58,86%	0,411438	41,14%
21	0,556312	55,63%	0,443688	44,37%
22	0,524305	52,43%	0,475695	47,57%
23	0,492703	49,27%	0,507297	50,73%
24	0,461656	46,17%	0,538344	53,83%
25	0,4313	43,13%	0,5687	56,87%
26	0,401759	40,18%	0,598241	59,82%
27	0,373141	37,31%	0,626859	62,69%
28	0,345539	34,55%	0,654461	65,45%
29	0,319031	31,9%	0,680969	68,1%
30	0,293684	29,37%	0,706316	70,63%
31	0,269545	26,95%	0,730455	73,05%
32	0,246652	24,67%	0,753348	75,33%
33	0,225028	22,5%	0,774972	77,5%
34	0,204683	20,47%	0,795317	79,53%
35	0,185617	18,56%	0,814383	81,44%
36	0,167818	16,78%	0,832182	83,22%
37	0,151266	15,13%	0,848734	84,87%
38	0,135932	13,59%	0,864068	86,41%
39	0,12178	12,18%	0,87822	87,82%
40	0,108768	10,88%	0,891232	89,12%
41	0,096848	9,68%	0,903152	90,32%
42	0,08597	8,6%	0,91403	91,4%
43	0,076077	7,61%	0,923923	92,39%
44	0,067115	6,71%	0,932885	93,29%
45	0,059024	5,9%	0,940976	94,1%
46	0,051747	5,17%	0,948253	94,83%
47	0,045226	4,52%	0,954774	95,48%
48	0,039402	3,94%	0,960598	96,06%
49	0,03422	3,42%	0,96578	96,58%
50	0,029626	2,96%	0,970374	97,04%

Doğum günü paradoksu nedir?

Doğum günü paradoksu, sadece 23 kişilik bir grupta ikisinin aynı doğum gününe sahip olma ihtimalinin yarıdan fazla olması gibi şaşırtıcı bir gerçeği anlatır. İlk bakışta yanlış gibi gelir, çünkü çoğu kişi kendi doğum gününün eşleşmesini düşünür; oysa hesap, herhangi bir eşleşen çifti sayar ve olası çift sayısı grup büyüdükçe hızla artar. Bu tamamen bir olasılık konusudur ve her yerde geçerlidir.

Ortak doğum günü olasılığı hızla artar ve yaklaşık 23 kişide %50'yi geçer.

Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?

En küçük grup büyüklüğünü ("Grup büyüklüğü (başlangıç)"), en büyüğünü ("Grup büyüklüğü (bitiş)") girin ve isterseniz bir yıldaki gün sayısını değiştirin (varsayılan 365 ya da 29 Şubat'ı dahil etmek için 366). Araç, her grup büyüklüğü için bir satır içeren bir tablo oluşturur ve her satır için iki olasılık verir: hiçbir doğum gününün eşleşmeme ihtimali ve en az bir çiftin eşleşme ihtimali. Ayrıca eşleşme olasılığının %50'ye ulaştığı ilk grup büyüklüğünü de gösterir.

Formül

D, bir yıldaki gün sayısı olsun. \(n\) kişinin tamamının farklı doğum günlerine sahip olma olasılığı, giderek azalan boş günler havuzunun çarpımıdır: $$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$ En az bir çiftin eşleşme ihtimali ise basitçe $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ şeklindedir. Devasa faktöriyellerden kaçınmak için çarpımı adım adım yaparız; \(n\), \(D\)'yi aştığında ise güvercin yuvası ilkesi gereği eşleşmeme olasılığı zorunlu olarak 0 olur.

Reklam

Tüm doğum günlerinin farklı olduğunu saymak: eklenen her kişinin bir gün daha az boş günü olur, bu da \((D-k)/D\) çarpımını verir.

Çözümlü örnek

\(D = 365\) ve \(n = 23\) için $$\left(\frac{365}{365}\right)\left(\frac{364}{365}\right)\cdots\left(\frac{343}{365}\right)$$ çarpımı \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\) verir; dolayısıyla \(p(23) \approx 0{,}507297\), yani yaklaşık %50,73'lük bir ihtimal. \(n = 2\) için bu olasılık yalnızca %0,27, \(n = 50\)'ye gelindiğinde ise yaklaşık %97,04'e yükselir.

Reklam

Sık sorulan sorular

Neden %50'yi bu kadar erken geçiyor? Çünkü 23 kişi tam 253 farklı çift oluşturur ve bu çiftlerden herhangi biri eşleşebilir.

Artık yılları veya doğum günü yoğunlaşmasını hesaba katıyor mu? Hayır. Tüm doğum günlerini eşit olasılıklı 365 (veya 366) gün olarak varsayar; gerçek hayattaki yoğunlaşmalar eşleşme olasılığını yalnızca artırır.

365 kişiden fazlasında ne olur? Bir eşleşme kesindir, dolayısıyla \(p(n) = 1\) olur.

Yaygın Eşikler: Belirli Bir Olasılık için Kaç Kişi Gerekli?

Klasik doğum günü paradoksu insanları şaşırtır çünkü paylaşılan doğum günü olasılığı sezginin önerdiğinden çok daha hızlı büyür. Aşağıdaki tablo, \(D = 365\) gün varsayıldığında ve doğumların düzgün dağıldığında (artık yıllar ve mevsimsel doğum paternleri göz ardı edilerek), her yaygın eşiğe ilk ulaşan en küçük grup büyüklüğü \(n\) ve bu büyüklükte en az bir paylaşılan doğum günü olasılığı \(P(n)\) gösterir.

Hedef olasılık	Grup büyüklüğü \(n\)	Bu büyüklükteki gerçek \(P(n)\)
10%	9	11,6%
50%	23	50,7%
90%	41	90,3%
95%	47	95,0%
99%	57	99,0%
99,9%	70	99,92%

En ünlü dönüm noktası sadece 23 kişi olup, bu paylaşılan doğum günü olasılığını muhtemel olmaktan daha ziyade kesinleştirir. Olasılığın orta aralıkta dik şekilde arttığını — 23 kişide %50 şansından sadece 57 kişide neredeyse kesin olan %99'a çıktığını — ve ardından 100'e yaklaştıkça düzleştiğini, çünkü her ek kişi halihazır mevcut olan eşleştirme fırsatlarına kıyasla daha az yeni eşleştirme fırsatı eklediğini unutmayın.