बर्थडे पैराडॉक्स क्या है?
बर्थडे पैराडॉक्स यानी जन्मदिन की पहेली एक चौंकाने वाला तथ्य है — सिर्फ़ 23 लोगों के समूह में भी इस बात की संभावना 50% से ज़्यादा होती है कि किन्हीं दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन पड़े। यह बात गलत इसलिए लगती है क्योंकि लोग सोचते हैं कि किसी का जन्मदिन उनके अपने जन्मदिन से मिलना चाहिए। लेकिन गणना में किसी भी जोड़े का मिलान गिना जाता है, और समूह बढ़ने के साथ संभावित जोड़ों की संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है। यह शुद्ध प्रायिकता (probability) है और हर जगह लागू होती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे छोटा समूह आकार ("समूह आकार — से"), सबसे बड़ा आकार ("समूह आकार — तक") दर्ज करें, और चाहें तो साल के दिनों की संख्या बदलें (डिफ़ॉल्ट रूप से 365, या 29 फ़रवरी को शामिल करने के लिए 366)। यह टूल एक तालिका बनाता है जिसमें हर समूह आकार के लिए एक पंक्ति होती है और दो संभावनाएँ बताता है: कि किन्हीं दो का जन्मदिन न मिले, और कि कम से कम एक जोड़े का मिले। साथ ही यह बताता है कि मिलान की संभावना पहली बार 50% कहाँ पहुँचती है।
सूत्र
मान लीजिए साल में दिनों की संख्या D है। n लोगों के अलग-अलग जन्मदिन होने की संभावना घटते हुए खाली दिनों का गुणनफल है:
$$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$कम से कम एक जोड़े के मिलान की संभावना बस \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\) है। हम विशाल फ़ैक्टोरियल से बचने के लिए क्रमशः गुणा करते हैं, और जैसे ही n, D से बड़ा होता है, पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार बिना-मिलान की संभावना अनिवार्य रूप से 0 हो जाती है।
हल किया गया उदाहरण
D = 365 और n = 23 के साथ, \((365/365)(364/365)\ldots(343/365)\) को गुणा करने पर \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\) मिलता है, इसलिए \(p(23) \approx 0.507297\), यानी लगभग 50.73% संभावना। n = 2 के लिए यह संभावना केवल 0.27% है, और n = 50 तक यह बढ़कर लगभग 97.04% हो जाती है।
सामान्य सीमाएं: दिए गए प्रायिकता के लिए कितने लोग?
क्लासिक जन्मदिन के विरोधाभास लोगों को आश्चर्यचकित करते हैं क्योंकि साझा जन्मदिन की प्रायिकता अंतर्ज्ञान से कहीं अधिक तेजी से बढ़ती है। नीचे दी गई तालिका सबसे छोटे समूह का आकार \(n\) दिखाती है जिस पर कम से कम एक साझा जन्मदिन की प्रायिकता \(P(n)\) पहली बार प्रत्येक सामान्य सीमा तक पहुंचती है, \(D = 365\) दिन मानते हुए और समान रूप से वितरित जन्मदिन (लीप वर्ष और मौसमी जन्म पैटर्न को अनदेखा करते हुए)।
| लक्ष्य प्रायिकता | समूह का आकार \(n\) | उस आकार पर वास्तविक \(P(n)\) |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11.6% |
| 50% | 23 | 50.7% |
| 90% | 41 | 90.3% |
| 95% | 47 | 95.0% |
| 99% | 57 | 99.0% |
| 99.9% | 70 | 99.92% |
सबसे प्रसिद्ध मील का पत्थर केवल 23 लोग हैं, जो एक साझा जन्मदिन को संभावित से अधिक संभावित बनाने के लिए पर्याप्त हैं। ध्यान दें कि प्रायिकता मध्य श्रेणी के माध्यम से तेजी से चढ़ती है — 23 लोगों पर 50% की संभावना से लेकर केवल 57 लोगों पर लगभग निश्चित 99% तक — और फिर यह समतल हो जाती है क्योंकि यह 100% के करीब पहुंचता है, क्योंकि प्रत्येक अतिरिक्त व्यक्ति पहले से मौजूद जोड़ी के अवसरों की तुलना में कम नई जोड़ी के अवसर जोड़ता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह इतनी जल्दी 50% कैसे पार कर जाती है? क्योंकि 23 लोग मिलकर 253 अलग-अलग जोड़े बनाते हैं, और इनमें से किसी भी जोड़े का जन्मदिन मिल सकता है।
क्या इसमें लीप ईयर या जन्मदिनों के झुरमुट (clustering) का हिसाब है? नहीं। यह मानता है कि सभी 365 (या 366) जन्मदिन समान रूप से संभव हैं; वास्तविक झुरमुट तो मिलान की संभावना को और बढ़ा ही देता है।
365 से ज़्यादा लोग होने पर क्या होता है? मिलान निश्चित हो जाता है, इसलिए \(p(n) = 1\)।
