什么是生日悖论？
生日悖论指的是这样一个出人意料的事实：在一个仅有 23 人的群体中，存在两人生日相同的概率就已经超过了一半。之所以让人觉得"不可能"，是因为大家往往想象的是别人要和自己同一天生日；但实际的计算统计的是任意一对相同生日，而群体中可以两两配对的组合数随人数增加迅速膨胀。这是一个纯粹的概率问题，在任何地区都同样成立。
如何使用这个计算器
输入最小人数（"起始人数"）、最大人数（"结束人数"），并可选择性地修改一年的天数（默认为 365 天，若要把 2 月 29 日算进去则填 366）。工具会生成一张表格，每种人数对应一行，并给出两个概率：没有任何两人同生日的概率，以及至少有一对同生日的概率。它还会告诉你，从哪个人数开始，同生日的概率首次达到 50%。
计算公式
设 \(D\) 为一年的天数。\(n\) 个人生日全都不同的概率，等于可选天数逐渐减少的连乘积：
$$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$而至少有一对生日相同的概率就是
$$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$我们采用逐项相乘的方式来避免出现巨大的阶乘；一旦 \(n\) 超过 \(D\)，根据鸽笼原理，"无重复"的概率必然降为 0。
实例演算
取 \(D = 365\)、\(n = 23\)，将 \(\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{343}{365}\) 连乘，得到 \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)，于是
$$p(23) \approx 0.507297$$即约 50.73% 的概率。当 \(n = 2\) 时，概率仅为 0.27%；而到 \(n = 50\) 时，概率已上升到约 97.04%。
常见阈值：给定概率需要多少人？
经典的生日悖论令人惊讶，因为共享生日的概率增长速度远快于直觉所预期。下表显示了在概率 \(P(n)\) 首次达到各个常见阈值的最小组大小 \(n\)，假设 \(D = 365\) 天且生日均匀分布（忽略闰年和季节性出生模式）。
| 目标概率 | 组大小 \(n\) | 该大小下的实际 \(P(n)\) |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11.6% |
| 50% | 23 | 50.7% |
| 90% | 41 | 90.3% |
| 95% | 47 | 95.0% |
| 99% | 57 | 99.0% |
| 99.9% | 70 | 99.92% |
最著名的里程碑是仅仅 23个人，这足以使共享生日比不共享的可能性更大。请注意，概率在中间范围内上升陡峭——从23个人的50%概率增加到仅57个人的几乎确定的99%——然后随着接近100%而变平，因为相对于已存在的配对机会，每增加一个人所增加的新配对机会数量更少。
常见问题
为什么这么早就超过 50% 了？因为 23 个人可以组成 253 个不同的配对，其中任意一对都有可能生日相同。
是否考虑了闰年或生日分布不均？没有。它假设 365 天（或 366 天）每天出生的可能性相等；现实中生日的集中分布只会让同生日的概率更高。
人数超过 365 时会怎样？此时必然出现重复，因此 \(p(n) = 1\)。
