誕生日のパラドックスとは？
「誕生日のパラドックス」とは、わずか23人のグループでも、その中の誰か2人の誕生日が一致する確率が50%を超えてしまうという、直感に反する現象のことです。意外に感じるのは、多くの人が「自分と同じ誕生日の人がいる確率」を思い浮かべてしまうからです。実際の計算では誰と誰でもよい「どこかの1組」の一致を数えており、組み合わせの数は人数が増えるほど急激に増えていきます。これは純粋な確率の問題なので、国や文化を問わず世界中どこでも当てはまります。
この計算機の使い方
まず人数の下限（「人数の下限」）と上限（「人数の上限」）を入力します。必要に応じて1年の日数（初期値は365日。2月29日を含める場合は366日）を変更することもできます。人数ごとに1行ずつの表が作成され、各行で「2人として誕生日が一致しない確率」と「少なくとも1組が一致する確率」の2つを表示します。さらに、一致確率が初めて50%に達する人数も教えてくれます。
計算式
1年の日数を D とします。n 人全員の誕生日がすべて異なる確率は、空いている日が次々に減っていく様子を掛け合わせた値になります。$$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \dots \times \frac{D-n+1}{D}$$。そして、少なくとも1組が一致する確率は単純に $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ で求められます。巨大な階乗の計算を避けるため、ここでは順番に掛け算を繰り返していきます。なお、\(n\) が \(D\) を超えると、鳩の巣原理によって「一致しない確率」は必ず 0 になります。
計算例
\(D = 365\)、\(n = 23\) のとき、$$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365}$$ を掛け合わせると \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\) となり、\(p(23) \approx 0.507297\)、つまり約 50.73% になります。\(n = 2\) ではわずか 0.27% ですが、\(n = 50\) になると約 97.04% まで上昇します。
共通の閾値：与えられた確率に対して何人必要か？
古典的な誕生日のパラドックスが人々を驚かせるのは、共有の誕生日の確率が直感よりもはるかに速く増加するためです。以下の表は、少なくとも1つの共有誕生日の確率 \(P(n)\) が各共通の閾値に最初に到達するグループサイズ \(n\) の最小値を示しており、\(D = 365\) 日と均等に分布した誕生日を仮定しています（閏年と季節的な出生パターンを無視）。
| 目標確率 | グループサイズ \(n\) | そのサイズでの実際の \(P(n)\) |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11.6% |
| 50% | 23 | 50.7% |
| 90% | 41 | 90.3% |
| 95% | 47 | 95.0% |
| 99% | 57 | 99.0% |
| 99.9% | 70 | 99.92% |
最も有名なマイルストーンはわずか23人であり、これは共有誕生日がないより可能性が高いのに十分です。確率は中央値を通じて急速に上昇します — 23人での50%の確率からわずか57人での99%近くまで — その後、100%に近づくにつれて平坦化します。これは、追加の1人が、既に存在するペアリング機会に相対的にはより少ない新しいペアリング機会を追加するためです。
よくある質問
なぜこんなに早く50%を超えるの？ 23人いれば、組み合わせは 253 通りにもなり、そのどの組み合わせが一致してもよいからです。
うるう年や誕生日の偏りは考慮されている？ いいえ。365日（または366日）すべてが同じ確率で起こると仮定しています。現実の偏りは、一致確率をさらに高める方向にしか働きません。
365人を超えるとどうなるの？ 必ずどこかで一致するため、\(p(n) = 1\) になります。
