この計算機でわかること
このツールは、ある特定の疑問に答えます。自分を含むn人のグループの中で、自分以外の誰かが自分とまったく同じ誕生日である確率はどれくらいか——というものです。これは誕生日問題の中でも「自分の誕生日と一致するか」を問うバージョンです。有名な「誕生日のパラドックス」とは意図的に異なります。あちらは「部屋の中の誰か2人が同じ誕生日になるか」を問うもので、わずか23人で確率が50%に達します。しかし、特定の日付(自分の誕生日)に一致させるのははるかに難しく、50%を超えるには約254人が必要になります。
使い方
自分を含めたグループの人数を入力します。計算機は自分以外の\(n - 1\)人を対象とし、1年を等確率の365日として扱い(うるう年の2月29日は考慮しません)、そのうちの少なくとも1人が自分の誕生日と一致する確率を求めます。
計算式の解説
自分以外の各人が、自分と誕生日が一致しない確率は \(\frac{364}{365}\) です。それぞれが独立していると仮定すると、\(n - 1\)人の誰も一致しない確率は \(\left(\frac{364}{365}\right)^{n-1}\) となります。したがって、少なくとも1人が一致する確率は次の通りです。
$$p(n) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{n-1}$$これに100を掛けてパーセント表示にします。指数が\(n - 1\)になっているのは、自分自身とは比較しないためです。一致する可能性があるのは、固定された自分の誕生日に対する「自分以外の人」だけです。
具体例
30人のグループでは、自分以外は29人です。\(\left(\frac{364}{365}\right)^{29} = 0.92352\) なので、$$p = 1 - 0.92352 = 0.07648$$つまり約7.65%となります。自分を含む30人の部屋では、自分と同じ誕生日の人がいる確率はおよそ7.65%ということになります。
よくある質問
なぜ23人で50%にならないの? 23人というのは別の問いの答えだからです。あちらは「どこかのペアが一致するか」を問うものです。自分の特定の日付に一致するのははるかにまれで、50%に達するにはおよそ254人が必要です。
100%になることはある? 厳密にはありません。確率は漸近的に100%へ近づくだけです。表示上の値が100%に丸められるには、約42,220人が必要になります。
うるう年はどう扱うの? 2月29日は考慮しません。本モデルでは簡単のため、1年を等確率の365日ちょうどとして計算します。
