이 계산기는 무엇을 계산하나요?
이 도구는 아주 구체적인 질문에 답합니다. 나를 포함한 n명의 그룹에서, 나를 제외한 다른 사람 중 적어도 한 명이 나와 똑같은 생일일 확률은 얼마일까요? 이것은 생일 문제 중에서도 '내 생일과 일치하는' 버전입니다. 흔히 알려진 '생일의 역설'과는 일부러 다른 문제라는 점에 유의하세요. 생일의 역설은 방 안의 아무 두 사람이 생일이 같은지를 묻는 문제로, 단 23명만 모여도 확률이 50%를 넘습니다. 하지만 '나'라는 특정한 한 사람의 생일과 일치하는 것은 훨씬 어려워서, 50%를 넘기려면 약 254명이 필요합니다.
사용 방법
나 자신을 포함한 그룹 인원수를 입력하세요. 계산기는 나를 뺀 나머지 \(n - 1\)명을 세고, 1년을 동일한 확률을 가진 365일로 보며(윤년의 2월 29일은 무시), 그중 누군가가 내 생일과 정확히 같을 확률을 계산합니다.
공식 풀이
다른 한 사람이 내 생일과 다를 확률은 \(\frac{364}{365}\)입니다. 각 사람이 서로 독립이라고 가정하면, 나머지 \(n - 1\)명 중 아무도 일치하지 않을 확률은 \(\left(\frac{364}{365}\right)^{n-1}\)입니다. 따라서 적어도 한 명이 일치할 확률은 다음과 같습니다.
$$p(n) = \left(1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{n-1}\right) \times 100\%$$ 여기에 100을 곱하면 백분율이 됩니다. 지수가 \(n - 1\)인 이유는 나 자신을 나와 비교할 수는 없기 때문입니다. 즉, 고정된 내 생일과 비교할 수 있는 것은 다른 사람들뿐입니다.
계산 예시
30명으로 이루어진 그룹이라면, 나를 뺀 다른 사람은 29명입니다. \(\left(\frac{364}{365}\right)^{29} = 0.92352\) 이므로, $$p = 1 - 0.92352 = 0.07648,$$ 즉 약 7.65%입니다. 다시 말해 나를 포함한 30명이 모인 자리에서 다른 누군가가 나와 똑같은 생일일 확률은 대략 7.65%입니다.
자주 묻는 질문
왜 23명에서 50%가 아닌가요? 23명은 다른 질문(아무 두 사람의 생일이 겹치는지)에 대한 답이기 때문입니다. 내 특정 생일과 일치하는 것은 훨씬 드문 일이라, 50%에 도달하려면 약 254명이 필요합니다.
100%에 도달할 수 있나요? 정확히 100%가 되지는 않습니다. 확률은 100%에 점근적으로 가까워질 뿐입니다. 표시되는 값이 반올림하여 100%가 되려면 약 42,220명이 필요합니다.
윤년은 어떻게 처리하나요? 2월 29일은 무시합니다. 계산을 단순하게 하기 위해 1년을 동일한 확률을 가진 정확히 365일로 봅니다.
