계산 입력

결과

정상상태 진폭 A

1.28831

미터 (m)

위상 지연 delta	2.88099 rad
위상 지연 delta	165.07 degrees
구동 주기 T	0.62832 s
표시 구간 (4T)	2.51327 s

정상상태 해: x(t) = A cos(omega t - delta). 표는 네 번의 구동 주기에 걸쳐 샘플링했습니다.

이 계산기의 기능

이 도구는 정현파 형태의 힘을 받는 감쇠 조화 진동자의 정상상태(특수해) 응답을 구합니다. 질량으로 정규화한 운동 방정식은 $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^{2}x = f\cos(\omega t)$ 이며, 여기서 $\omega_0$는 고유 각진동수, $\kappa$는 저항(감쇠) 계수, $f$는 단위 질량당 구동 진폭, $\omega$는 구동 각진동수입니다. 정상상태 해는 $x(t) = A\cos(\omega t - \delta)$ 의 형태를 갖습니다.

사용 방법

고유 각진동수, 저항 계수, 구동 각진동수, 구동 진폭을 일관된 SI 단위(rad/s, 1/s, rad/s, m/s²)로 입력하세요. 네 번의 구동 주기 동안 변위 곡선을 샘플링할 분할 개수를 선택합니다. 계산기는 정상상태 진폭 $A$, 라디안과 도(°)로 표현한 위상 지연 $\delta$, 그리고 구동 주기를 결과로 보여줍니다.

공식 설명

진폭은 $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\omega\kappa\right)^{2}}}$$ 로, 강제 진동자의 표준 진폭 응답입니다. 위상 지연은 $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right)$$ 이며, 이는 $\delta$를 $0$에서 $\pi$ 범위에 두고 $\omega_0^{2} = \omega^{2}$ 인 공명 지점($\delta = \pi/2$)을 정확히 처리합니다.

감쇠 정도에 따른 구동 주파수 대 진폭의 공명 곡선 — 진폭은 고유 진동수 부근에서 최대가 되며, 감쇠가 작을수록 봉우리가 더 높고 뾰족해집니다.

사인파 힘으로 구동되는 감쇠 질량-스프링 진동자 도해 — 댐퍼가 달린 스프링에 매달린 질량이 외부 사인파 힘 F(t)로 구동됩니다.

계산 예시

$\omega_0 = 5$, $\kappa = 1$, $\omega = 10$, $f = 100$ 인 경우: $\omega_0^{2} - \omega^{2} = -75$, $2\omega\kappa = 20$ 입니다. 분모는 $$\sqrt{75^{2} + 20^{2}} = \sqrt{6025} = 77.621$$ 이므로 $$A = \frac{100}{77.621} = 1.2883\ \text{m}$$ 가 됩니다. 위상은 $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\, -75) = 2.8806\ \text{rad} = 165.04^{\circ}$$ 입니다.

자주 묻는 질문

과도 응답도 포함되나요? 아니요. 정상상태 부분만 표시됩니다. 동차해(과도 응답)는 $e^{-\kappa t}$ 형태로 감쇠하여 사라집니다.

공명 상태에서는 어떻게 되나요? $\kappa > 0$ 인 상태에서 $\omega_0 = \omega$ 가 되면 $A = \frac{f}{2\omega\kappa}$, $\delta = \pi/2$ 입니다. 만약 $\kappa = 0$ 이기도 하면 진폭은 무한대가 됩니다(비감쇠 공명).

어떤 단위를 사용해야 하나요? 서로 일관된 단위라면 무엇이든 가능합니다. 여기서는 SI 단위를 가정하므로 변위는 미터(m) 단위로 출력됩니다.

강제 진동 변위 계산기