이 계산기의 기능
이 도구는 정현파 형태의 힘을 받는 감쇠 조화 진동자의 정상상태(특수해) 응답을 구합니다. 질량으로 정규화한 운동 방정식은 \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^{2}x = f\cos(\omega t)\) 이며, 여기서 \(\omega_0\)는 고유 각진동수, \(\kappa\)는 저항(감쇠) 계수, \(f\)는 단위 질량당 구동 진폭, \(\omega\)는 구동 각진동수입니다. 정상상태 해는 \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\) 의 형태를 갖습니다.
사용 방법
고유 각진동수, 저항 계수, 구동 각진동수, 구동 진폭을 일관된 SI 단위(rad/s, 1/s, rad/s, m/s²)로 입력하세요. 네 번의 구동 주기 동안 변위 곡선을 샘플링할 분할 개수를 선택합니다. 계산기는 정상상태 진폭 \(A\), 라디안과 도(°)로 표현한 위상 지연 \(\delta\), 그리고 구동 주기를 결과로 보여줍니다.
공식 설명
진폭은 $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\omega\kappa\right)^{2}}}$$ 로, 강제 진동자의 표준 진폭 응답입니다. 위상 지연은 $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right)$$ 이며, 이는 \(\delta\)를 \(0\)에서 \(\pi\) 범위에 두고 \(\omega_0^{2} = \omega^{2}\) 인 공명 지점(\(\delta = \pi/2\))을 정확히 처리합니다.
계산 예시
\(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\), \(f = 100\) 인 경우: \(\omega_0^{2} - \omega^{2} = -75\), \(2\omega\kappa = 20\) 입니다. 분모는 $$\sqrt{75^{2} + 20^{2}} = \sqrt{6025} = 77.621$$ 이므로 $$A = \frac{100}{77.621} = 1.2883\ \text{m}$$ 가 됩니다. 위상은 $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\, -75) = 2.8806\ \text{rad} = 165.04^{\circ}$$ 입니다.
자주 묻는 질문
과도 응답도 포함되나요? 아니요. 정상상태 부분만 표시됩니다. 동차해(과도 응답)는 \(e^{-\kappa t}\) 형태로 감쇠하여 사라집니다.
공명 상태에서는 어떻게 되나요? \(\kappa > 0\) 인 상태에서 \(\omega_0 = \omega\) 가 되면 \(A = \frac{f}{2\omega\kappa}\), \(\delta = \pi/2\) 입니다. 만약 \(\kappa = 0\) 이기도 하면 진폭은 무한대가 됩니다(비감쇠 공명).
어떤 단위를 사용해야 하나요? 서로 일관된 단위라면 무엇이든 가능합니다. 여기서는 SI 단위를 가정하므로 변위는 미터(m) 단위로 출력됩니다.
