Что считает этот калькулятор
Инструмент находит установившееся (частное) решение для затухающего гармонического осциллятора, на который действует синусоидальная вынуждающая сила. Нормированное на массу уравнение движения имеет вид \( \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^{2}x = f\cos(\omega t) \), где \(\omega_0\) — собственная круговая частота, \(\kappa\) — коэффициент сопротивления (затухания), \(f\) — амплитуда вынуждающей силы на единицу массы, а \(\omega\) — круговая частота вынуждающей силы. Установившееся решение записывается как $$x(t) = A\cos(\omega t - \delta).$$
Как пользоваться
Введите собственную круговую частоту, коэффициент сопротивления, круговую частоту вынуждающей силы и амплитуду в согласованных единицах СИ (рад/с, 1/с, рад/с, м/с²). Укажите число разбиений, по которым будет строиться кривая смещения на интервале в четыре периода вынуждающей силы. Калькулятор выдаёт установившуюся амплитуду \(A\), фазовый сдвиг \(\delta\) в радианах и градусах, а также период вынуждающей силы.
Разбор формулы
Амплитуда вычисляется как $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\omega\kappa\right)^{2}}}$$ — это стандартный амплитудно-частотный отклик осциллятора под вынуждающей силой. Фазовый сдвиг равен $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right);$$ такая запись помещает \(\delta\) в диапазон от 0 до \(\pi\) и корректно описывает переход через резонанс, когда \(\omega_0^{2} = \omega^{2}\) (тогда \(\delta = \pi/2\)).
Пример расчёта
Пусть \(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\), \(f = 100\). Тогда \(\omega_0^{2} - \omega^{2} = -75\), а \(2\omega\kappa = 20\). Знаменатель равен $$\sqrt{75^{2} + 20^{2}} = \sqrt{6025} = 77{,}621,$$ поэтому $$A = \frac{100}{77{,}621} = 1{,}2883 \text{ м}.$$ Фаза составляет $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\; -75) = 2{,}8806 \text{ рад} = 165{,}04^\circ.$$
Частые вопросы
Учитывается ли переходный процесс? Нет. Показывается только установившаяся часть; собственное (переходное) решение затухает по закону \(e^{-\kappa t}\).
Что происходит при резонансе? Если \(\omega_0 = \omega\) и \(\kappa > 0\), то \(A = \frac{f}{2\omega\kappa}\), а \(\delta = \pi/2\). Если же при этом \(\kappa = 0\), амплитуда становится бесконечной (резонанс без затухания).
Какие единицы использовать? Любой согласованный набор. По умолчанию подразумевается СИ, поэтому смещение получается в метрах.
