Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve la respuesta estacionaria (solución particular) de un oscilador armónico amortiguado impulsado por una fuerza sinusoidal. La ecuación del movimiento, normalizada por la masa, es \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^{2}x = f\cos(\omega t)\), donde \(\omega_0\) es la frecuencia angular natural, \(\kappa\) es el coeficiente de resistencia (amortiguamiento), \(f\) es la amplitud del forzamiento por unidad de masa y \(\omega\) es la frecuencia angular del forzamiento. La solución estacionaria tiene la forma \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\).
Cómo utilizarla
Introduce la frecuencia angular natural, el coeficiente de resistencia, la frecuencia angular del forzamiento y la amplitud del forzamiento en unidades del SI coherentes entre sí (rad/s, 1/s, rad/s, m/s²). Elige el número de divisiones con el que se muestrea la curva de desplazamiento a lo largo de cuatro periodos del forzamiento. La calculadora devuelve la amplitud estacionaria \(A\), el desfase \(\delta\) en radianes y en grados, y el periodo del forzamiento.
La fórmula explicada
La amplitud es $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\omega\kappa\right)^{2}}}$$ que es la respuesta de amplitud estándar de un oscilador forzado. El desfase es $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right)$$ que sitúa \(\delta\) en el intervalo de 0 a \(\pi\) y trata correctamente el cruce de la resonancia, donde \(\omega_0^{2} = \omega^{2}\) (en ese punto \(\delta = \pi/2\)).
Ejemplo resuelto
Con \(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\) y \(f = 100\): \(\omega_0^{2} - \omega^{2} = -75\) y \(2\omega\kappa = 20\). El denominador es $$\sqrt{75^{2} + 20^{2}} = \sqrt{6025} = 77{,}621$$ de modo que \(A = 100 / 77{,}621 = 1{,}2883\ \text{m}\). El desfase es \(\delta = \operatorname{atan2}(20, -75) = 2{,}8806\ \text{rad} = 165{,}04^{\circ}\).
Preguntas frecuentes
¿Incluye el transitorio? No. Solo se muestra la parte estacionaria; el transitorio homogéneo decae como \(e^{-\kappa t}\).
¿Qué ocurre en la resonancia? Cuando \(\omega_0 = \omega\) con \(\kappa > 0\), se tiene \(A = f/(2\omega\kappa)\) y \(\delta = \pi/2\). Si además \(\kappa = 0\), la amplitud es infinita (resonancia sin amortiguamiento).
¿Qué unidades debo usar? Cualquier conjunto coherente; se asume el SI, así que el desplazamiento sale en metros.
