प्रणोदित दोलन विस्थापन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति omega0 (rad/s)

प्रतिरोध गुणांक kappa (1/s)

प्रणोदन कोणीय आवृत्ति omega (rad/s)

प्रणोदन आयाम f (m/s^2)

विभाजनों की संख्या 50 100 200

परिणाम

स्थायी-अवस्था आयाम A

1.28831

मीटर (m)

कलांतर delta	2.88099 rad
कलांतर delta	165.07 degrees
प्रणोदन आवर्त T	0.62832 s
प्रदर्शित परास (4T)	2.51327 s

स्थायी-अवस्था हल: x(t) = A cos(omega t - delta)। तालिका 4 प्रणोदन आवर्तों पर नमूना ली गई है।

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल उस अवमंदित आवर्ती दोलक (damped harmonic oscillator) की स्थायी-अवस्था (particular) प्रतिक्रिया हल करता है जिसे किसी ज्या-रूपी बल से प्रणोदित किया जा रहा हो। द्रव्यमान-सामान्यीकृत गति समीकरण इस प्रकार है: $$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f\cos(\omega t),$$ जहाँ \(\omega_0\) प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति है, \(\kappa\) प्रतिरोध (अवमंदन) गुणांक है, \(f\) प्रति इकाई द्रव्यमान प्रणोदन आयाम है, और \(\omega\) प्रणोदन कोणीय आवृत्ति है। स्थायी-अवस्था हल का रूप होता है \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\)।

इसका उपयोग कैसे करें

प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति, प्रतिरोध गुणांक, प्रणोदन कोणीय आवृत्ति और प्रणोदन आयाम को एक-दूसरे से संगत SI इकाइयों (rad/s, 1/s, rad/s, m/s²) में दर्ज करें। विस्थापन वक्र को चार प्रणोदन-आवर्तों पर नमूना (sample) करने के लिए विभाजनों की संख्या चुनें। कैलकुलेटर आपको स्थायी-अवस्था आयाम \(A\), कलांतर \(\delta\) (रेडियन और डिग्री दोनों में) तथा प्रणोदन आवर्त लौटाता है।

सूत्र की व्याख्या

आयाम होता है $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2 + \left(2\omega\kappa\right)^2}},$$ जो प्रणोदित दोलक की मानक आयाम प्रतिक्रिया है। कलांतर होता है $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^2 - \omega^2\right),$$ जो \(\delta\) को 0 से \(\pi\) की परास में रखता है और अनुनाद (resonance) उस बिंदु को सही ढंग से संभालता है जहाँ \(\omega_0^2 = \omega^2\) होता है (तब \(\delta = \pi/2\))।

आयाम प्राकृतिक आवृत्ति के पास अधिकतम होता है; कम अवमंदन से ऊँची और तीखी चोटी बनती है।

स्प्रिंग पर रखा एक द्रव्यमान जिसमें डैम्पर लगा है, बाहरी ज्यावक्रीय बल F(t) से चालित।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\), \(f = 100\): तब \(\omega_0^2 - \omega^2 = -75\) और \(2\omega\kappa = 20\) होगा। हर (denominator) होगा $$\sqrt{75^2 + 20^2} = \sqrt{6025} = 77.621,$$ अतः \(A = 100 / 77.621 = 1.2883\) m। कला होगी \(\delta = \operatorname{atan2}(20, -75) = 2.8806\) rad \(= 165.04^\circ\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या इसमें क्षणिक (transient) भाग शामिल है? नहीं। केवल स्थायी-अवस्था भाग दिखाया जाता है; समघात (homogeneous) क्षणिक भाग \(e^{-\kappa t}\) के अनुसार क्षीण हो जाता है।

अनुनाद पर क्या होता है? जब \(\kappa > 0\) के साथ \(\omega_0 = \omega\) हो, तब \(A = f/(2\omega\kappa)\) और \(\delta = \pi/2\) होता है। यदि \(\kappa = 0\) भी हो, तो आयाम अनंत हो जाता है (अनवमंदित अनुनाद)।

मुझे कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी संगत समुच्चय; यहाँ SI मान लिया गया है इसलिए विस्थापन मीटर में आता है।