Ce que fait ce calculateur
Cet outil résout la réponse en régime permanent (solution particulière) d'un oscillateur harmonique amorti soumis à une force sinusoïdale. L'équation du mouvement, normalisée par la masse, s'écrit $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^{2}x = f\cos(\omega t),$$ où \(\omega_0\) est la pulsation propre, \(\kappa\) le coefficient de résistance (amortissement), \(f\) l'amplitude de l'excitation par unité de masse et \(\omega\) la pulsation d'excitation. La solution en régime permanent prend la forme \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\).
Mode d'emploi
Saisissez la pulsation propre, le coefficient de résistance, la pulsation d'excitation et l'amplitude de l'excitation dans des unités SI cohérentes (rad/s, 1/s, rad/s, m/s²). Choisissez le nombre de subdivisions utilisées pour échantillonner la courbe de déplacement sur quatre périodes d'excitation. Le calculateur renvoie l'amplitude \(A\) en régime permanent, le déphasage \(\delta\) en radians et en degrés, ainsi que la période d'excitation.
La formule expliquée
L'amplitude vaut $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\omega\kappa\right)^{2}}},$$ soit la réponse en amplitude classique d'un oscillateur entretenu. Le déphasage est $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right),$$ ce qui situe \(\delta\) entre \(0\) et \(\pi\) et traite correctement le passage à la résonance où \(\omega_0^{2} = \omega^{2}\) (on a alors \(\delta = \pi/2\)).
Exemple résolu
Avec \(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\), \(f = 100\) : \(\omega_0^{2} - \omega^{2} = -75\) et \(2\omega\kappa = 20\). Le dénominateur vaut $$\sqrt{75^{2} + 20^{2}} = \sqrt{6025} = 77{,}621,$$ d'où $$A = \frac{100}{77{,}621} = 1{,}2883 \text{ m}.$$ Le déphasage est $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\, -75) = 2{,}8806 \text{ rad} = 165{,}04^{\circ}.$$
FAQ
Le régime transitoire est-il pris en compte ? Non. Seule la partie en régime permanent est affichée ; le transitoire (solution homogène) décroît en \(e^{-\kappa t}\).
Que se passe-t-il à la résonance ? Lorsque \(\omega_0 = \omega\) avec \(\kappa > 0\), on a \(A = f/(2\omega\kappa)\) et \(\delta = \pi/2\). Si en plus \(\kappa = 0\), l'amplitude devient infinie (résonance non amortie).
Quelles unités utiliser ? N'importe quel système cohérent ; le SI est supposé par défaut, de sorte que le déplacement est exprimé en mètres.
