Công cụ này làm gì
Công cụ giải nghiệm ở trạng thái dừng (nghiệm riêng) của một dao động tử điều hòa có cản, chịu tác dụng của lực cưỡng bức dạng sin. Phương trình chuyển động được chuẩn hóa theo khối lượng có dạng \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f\cos(\omega t)\), trong đó \(\omega_0\) là tần số góc riêng, \(\kappa\) là hệ số cản (suy giảm), \(f\) là biên độ lực cưỡng bức trên một đơn vị khối lượng, và \(\omega\) là tần số góc cưỡng bức. Nghiệm ở trạng thái dừng có dạng \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\).
Cách sử dụng
Nhập tần số góc riêng, hệ số cản, tần số góc cưỡng bức và biên độ lực cưỡng bức theo hệ đơn vị SI nhất quán (rad/s, 1/s, rad/s, m/s²). Chọn số khoảng chia dùng để lấy mẫu đường cong dịch chuyển trong bốn chu kỳ cưỡng bức. Máy tính sẽ trả về biên độ trạng thái dừng \(A\), độ trễ pha \(\delta\) tính bằng radian và độ, cùng với chu kỳ cưỡng bức.
Giải thích công thức
Biên độ được tính bằng $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^{2} - \omega^{2}\right)^{2} + \left(2\,\omega\,\kappa\right)^{2}}}$$ đây là đáp ứng biên độ chuẩn của một dao động tử cưỡng bức. Độ trễ pha là $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\,\omega\,\kappa,\; \omega_0^{2} - \omega^{2}\right)$$ giúp \(\delta\) nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(\pi\) và xử lý chính xác điểm cộng hưởng khi \(\omega_0^2 = \omega^2\) (lúc đó \(\delta = \pi/2\)).
Ví dụ minh họa
Với \(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\), \(f = 100\): ta có \(\omega_0^2 - \omega^2 = -75\) và \(2\omega\kappa = 20\). Mẫu số là $$\sqrt{75^2 + 20^2} = \sqrt{6025} = 77{,}621$$ nên $$A = \frac{100}{77{,}621} = 1{,}2883 \text{ m}$$ Pha là $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\, -75) = 2{,}8806 \text{ rad} = 165{,}04°$$
Câu hỏi thường gặp
Kết quả có bao gồm phần quá độ không? Không. Chỉ phần trạng thái dừng được hiển thị; phần quá độ thuần nhất suy giảm theo \(e^{-\kappa t}\).
Điều gì xảy ra tại cộng hưởng? Khi \(\omega_0 = \omega\) và \(\kappa > 0\), ta có \(A = \frac{f}{2\omega\kappa}\) và \(\delta = \pi/2\). Nếu \(\kappa = 0\) nữa thì biên độ trở nên vô hạn (cộng hưởng không cản).
Nên dùng đơn vị nào? Bất kỳ hệ đơn vị nhất quán nào; mặc định là SI nên dịch chuyển có đơn vị mét.
