ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة استجابة الحالة المستقرة (الحل الخاص) لمذبذب توافقي مخمد تدفعه قوة جيبية. تُكتب معادلة الحركة المُطبَّعة بالنسبة للكتلة على الصورة: \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f\cos(\omega t)\)، حيث \(\omega_0\) هي التردد الزاوي الطبيعي، و\(\kappa\) هو معامل المقاومة (التخميد)، و\(f\) هي سعة القوة الدافعة لكل وحدة كتلة، و\(\omega\) هو التردد الزاوي للقوة الدافعة. ويأخذ حل الحالة المستقرة الصورة \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\).
طريقة الاستخدام
أدخل التردد الزاوي الطبيعي، ومعامل المقاومة، والتردد الزاوي الدافع، وسعة القوة الدافعة بوحدات النظام الدولي المتوافقة (راديان/ثانية، 1/ثانية، راديان/ثانية، م/ث²). ثم اختر عدد التقسيمات المستخدمة لأخذ عينات من منحنى الإزاحة على مدى أربع دورات دافعة. تُرجع الحاسبة سعة الحالة المستقرة \(A\)، وفرق الطور \(\delta\) بالراديان والدرجات، إضافةً إلى الدورة الزمنية للقوة الدافعة.
شرح المعادلة
تُعطى السعة بالعلاقة $$A = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\omega\kappa)^2}}$$ وهي الاستجابة السعوية المعيارية للمذبذب المدفوع. أما فرق الطور فهو $$\delta = \operatorname{atan2}(2\omega\kappa,\; \omega_0^2 - \omega^2)$$ وهو يضع \(\delta\) ضمن المجال من \(0\) إلى \(\pi\) ويتعامل بشكل صحيح مع عبور الرنين عندما يكون \(\omega_0^2 = \omega^2\) (فتصبح \(\delta = \frac{\pi}{2}\)).
مثال محلول
بفرض \(\omega_0 = 5\)، و\(\kappa = 1\)، و\(\omega = 10\)، و\(f = 100\): نجد أن \(\omega_0^2 - \omega^2 = -75\) وأن \(2\omega\kappa = 20\). ويكون المقام $$\sqrt{75^2 + 20^2} = \sqrt{6025} = 77.621$$ إذن $$A = \frac{100}{77.621} = 1.2883 \text{ م}$$ أما الطور فهو $$\delta = \operatorname{atan2}(20,\; -75) = 2.8806 \text{ راديان} = 165.04^\circ$$
الأسئلة الشائعة
هل تشمل النتيجة الجزء العابر؟ لا. لا يُعرض سوى جزء الحالة المستقرة؛ أما الجزء العابر المتجانس فيتلاشى بمرور الزمن وفقًا للعلاقة \(e^{-\kappa t}\).
ماذا يحدث عند الرنين؟ عندما يكون \(\omega_0 = \omega\) مع \(\kappa > 0\)، تصبح \(A = \frac{f}{2\omega\kappa}\) و\(\delta = \frac{\pi}{2}\). أما إذا كان \(\kappa = 0\) أيضًا، فتصبح السعة لا نهائية (رنين غير مخمد).
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ أي مجموعة متوافقة من الوحدات؛ ونفترض هنا استخدام النظام الدولي (SI)، فتأتي الإزاحة بالمتر.
