Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, sinüzoidal bir kuvvetle tahrik edilen sönümlü harmonik osilatörün kararlı durum (özel) çözümünü bulur. Kütleye göre normalize edilmiş hareket denklemi şöyledir: \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2\kappa\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f\cos(\omega t)\). Burada \(\omega_0\) doğal açısal frekans, \(\kappa\) direnç (sönüm) katsayısı, \(f\) birim kütle başına tahrik genliği ve \(\omega\) tahrik açısal frekansıdır. Kararlı durum çözümü \(x(t) = A\cos(\omega t - \delta)\) biçimindedir.
Nasıl kullanılır?
Doğal açısal frekansı, direnç katsayısını, tahrik açısal frekansını ve tahrik genliğini birbiriyle tutarlı SI birimlerinde girin (sırasıyla rad/s, 1/s, rad/s, m/s²). Yer değiştirme eğrisinin dört tahrik periyodu boyunca örnekleneceği bölüm sayısını seçin. Hesaplayıcı; kararlı durum genliği \(A\)’yı, radyan ve derece cinsinden faz gecikmesi \(\delta\)’yı ve tahrik periyodunu verir.
Formülün açıklaması
Genlik $$A = \frac{f}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2 + \left(2\omega\kappa\right)^2}}$$ ile hesaplanır; bu, tahrik edilen bir osilatörün standart genlik tepkisidir. Faz gecikmesi ise $$\delta = \operatorname{atan2}\!\left(2\omega\kappa,\; \omega_0^2 - \omega^2\right)$$ olup \(\delta\)’yı \(0\) ile \(\pi\) aralığına yerleştirir ve \(\omega_0^2 = \omega^2\) olan rezonans geçişini doğru biçimde ele alır (bu durumda \(\delta = \pi/2\) olur).
Çözümlü örnek
\(\omega_0 = 5\), \(\kappa = 1\), \(\omega = 10\) ve \(f = 100\) için: \(\omega_0^2 - \omega^2 = -75\) ve \(2\omega\kappa = 20\). Payda $$\sqrt{75^2 + 20^2} = \sqrt{6025} = 77.621$$ olur, dolayısıyla $$A = \frac{100}{77.621} = 1.2883 \text{ m}.$$ Faz ise $$\delta = \operatorname{atan2}(20, -75) = 2.8806 \text{ rad} = 165.04^\circ$$ dir.
Sık sorulan sorular
Geçici (transient) tepki dahil mi? Hayır. Yalnızca kararlı durum kısmı gösterilir; homojen geçici terim \(e^{-\kappa t}\) ile sönümlenerek kaybolur.
Rezonansta ne olur? \(\kappa > 0\) iken \(\omega_0 = \omega\) olduğunda \(A = \frac{f}{2\omega\kappa}\) ve \(\delta = \pi/2\) olur. Ayrıca \(\kappa = 0\) ise genlik sonsuza gider (sönümsüz rezonans).
Hangi birimleri kullanmalıyım? Birbiriyle tutarlı herhangi bir birim sistemi kullanabilirsiniz; varsayılan olarak SI alınır, bu yüzden yer değiştirme metre cinsinden çıkar.
