Что такое угловое перемещение?
Угловое перемещение (\(\theta\)) — это угол, на который вращающееся тело поворачивается вокруг оси; измеряется в радианах. Этот калькулятор использует уравнение кинематики вращательного движения $$\theta = \omega_i \, t + \frac{1}{2} \alpha \, t^{2}$$ чтобы найти этот угол по начальной угловой скорости, постоянному угловому ускорению и прошедшему времени. По сути это вращательный аналог линейного уравнения \(s = u_i t + \frac{1}{2} a t^{2}\).
Как пользоваться калькулятором
Введите начальную угловую скорость \(\omega_i\) в радианах в секунду, постоянное угловое ускорение \(\alpha\) в радианах в секунду в квадрате и время \(t\) в секундах. Калькулятор выдаёт угловое перемещение в радианах, а заодно переводит его в градусы (\(\times\, 180/\pi\)) и в полные обороты (\(\div\, 2\pi\)). Также он показывает конечную угловую скорость \(\omega_f = \omega_i + \alpha t\).
Разбор формулы
Первое слагаемое, \(\omega_i t\), отвечает за угол, который тело прошло бы, если бы продолжало вращаться с начальной скоростью. Второе слагаемое, \(\frac{1}{2}\alpha t^{2}\), добавляет дополнительный угол, возникающий за счёт ускорения с течением времени. Вместе они дают полный угол поворота при постоянном угловом ускорении. Если \(\alpha\) равно нулю, тело вращается равномерно и \(\theta = \omega_i t\).
Пример расчёта
Колесо начинает движение с \(\omega_i = 2\) рад/с и разгоняется с ускорением \(\alpha = 1{,}5\) рад/с² в течение \(t = 4\) с. Тогда $$\theta = 2 \times 4 + \frac{1}{2} \times 1{,}5 \times 4^{2} = 8 + 12 = 20 \text{ радиан.}$$ Это примерно 1145,92° или около 3,18 оборота, а конечная скорость колеса составит \(\omega_f = 2 + 1{,}5 \times 4 = 8\) рад/с.
Частые вопросы
Какие единицы измерения использовать? Используйте единицы СИ: радианы, рад/с и рад/с². В радианах результаты остаются согласованными, а также дублируются в градусах и оборотах.
Предполагается ли постоянное ускорение? Да. Уравнение \(\theta = \omega_i t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}\) справедливо только при постоянном угловом ускорении \(\alpha\) на всём интервале времени.
Как перевести радианы в градусы? Умножьте число радиан на \(180/\pi \approx 57{,}2958\). Чтобы получить обороты, разделите радианы на \(2\pi\).
Ключевые термины и переменные
Кинематическое уравнение \(\theta = \omega_i t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2\) связывает следующие вращательные величины. Все единицы СИ основаны на радиане.
| Символ | Величина | Единица СИ | Описание |
|---|---|---|---|
| \(\theta\) | Угловое перемещение | рад | Угол, на который объект поворачивается за время \(t\); выходные данные этого калькулятора. |
| \(\omega_i\) | Начальная угловая скорость | рад/с | Скорость вращения в начале временного интервала (\(t = 0\)). |
| \(\omega_f\) | Конечная угловая скорость | рад/с | Скорость вращения в конце интервала, где \(\omega_f = \omega_i + \alpha t\). |
| \(\alpha\) | Угловое ускорение | рад/с² | Скорость изменения угловой скорости. Положительные значения ускоряют вращение; отрицательные значения замедляют его. |
| \(t\) | Время | с | Продолжительность вращательного движения, за которое накапливается перемещение. |
Эти величины являются вращательными аналогами линейного перемещения, скорости, ускорения и времени. Если вы знаете начальную и конечную угловые скорости и время, вы можете найти \(\alpha\) с помощью калькулятора углового ускорения.
