Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет равнодействующую (векторную сумму) до четырёх двумерных векторов A, B, C и D. В ответе вы получаете x- и y-компоненты равнодействующей, её модуль (длину) и угол направления, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси x. Сложение векторов — это чистая математика, поэтому калькулятор работает одинаково в любой задаче и не привязан к физическим единицам: компоненты — это обычные действительные числа в той единице измерения, которую выберете вы (главное, чтобы она была одна для всех).
Как пользоваться
Введите каждый вектор в виде пары [x, y]. Чтобы получить сумму, достаточно двух векторов: оставьте C и D равными 0, чтобы сложить только A и B, либо заполните три строки для суммы A + B + C. Отрицательные компоненты допустимы — они означают направления вдоль отрицательных полуосей. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть компоненты, длину и направление равнодействующей.
Разбор формулы
Векторы складываются покомпонентно: x-компонента равнодействующей равна v1 = a1 + b1 + c1 + d1, а y-компонента — v2 = a2 + b2 + c2 + d2. Длина вычисляется по теореме Пифагора: |v| = sqrt(v1² + v2²). Угол направления находится через двухаргументный арктангенс theta = atan2(v2, v1), который корректно определяет четверть. Затем мы переводим результат в градусы и прибавляем 360°, если значение отрицательное, чтобы итоговый угол попадал в диапазон [0, 360).
$$\vec{R} = (R_x,\, R_y), \quad |\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(R_y,\, R_x)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_x &= \text{A}_x + \text{B}_x + \text{C}_x + \text{D}_x \\ R_y &= \text{A}_y + \text{B}_y + \text{C}_y + \text{D}_y \end{aligned} \right.$$
Пример расчёта
Возьмём A = [3, 1] и B = [1, 2], а C и D оставим нулевыми. Тогда \(v_1 = 3 + 1 = 4\) и \(v_2 = 1 + 2 = 3\). Модуль равен $$\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5,$$ а угол — \(\operatorname{atan2}(3, 4) \approx 36{,}87°\). Итого равнодействующая равна [4, 3], её длина — 5, а направление — около 36,87°.
Частые вопросы
Почему используется atan2, а не atan? Обычный арктангенс не различает противоположные четверти. Например, для v = [-4, -3] правильный ответ — около 216,87°, но \(\operatorname{atan}(-3 / -4)\) даёт 36,87°. Двухаргументный atan2 учитывает знаки обеих компонент и поэтому всегда находит верную четверть.
А если равнодействующая равна нулю? Если обе компоненты взаимно сокращаются до нуля, модуль равен 0, а угол направления не определён — в этом случае мы показываем 0°.
Нужны ли единицы измерения? Нет. Сложение векторов — безразмерная математика. Достаточно, чтобы все компоненты были в одной и той же единице, — тогда и равнодействующая будет в ней же.
