Что такое единичный вектор?
Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна ровно 1 и который направлен так же, как исходный вектор. Приведение вектора к единичному называется нормализацией. Единичные векторы незаменимы в физике, компьютерной графике, машинном обучении и инженерных расчётах — везде, где важно направление, а не длина.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты x и y своего вектора, а также координату z, если работаете в трёх измерениях (для 2D-вектора оставьте z пустым или равным 0). Калькулятор вычислит модуль вектора и разделит каждую координату на него, получив единичный вектор.
Разбор формулы
Сначала найдём модуль по теореме Пифагора, обобщённой на несколько измерений: \(|v| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}\). Затем разделим каждую координату на этот модуль:
$$\hat{u} = \frac{\vec{V}}{\lVert \vec{V} \rVert} = \frac{\left(\text{V}_x,\ \text{V}_y,\ \text{V}_z\right)}{\sqrt{\text{V}_x^{2} + \text{V}_y^{2} + \text{V}_z^{2}}}$$Длина полученного вектора всегда равна 1. Нулевой вектор нормализовать нельзя, потому что его модуль равен 0.
Пример с решением
Возьмём вектор \(v = (3,\ 4,\ 0)\). Его модуль равен
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$Разделив каждую координату на 5, получаем единичный вектор \(\hat{u} = (3/5,\ 4/5,\ 0) = (0{,}6;\ 0{,}8;\ 0)\). Проверим:
$$\sqrt{0{,}6^{2} + 0{,}8^{2}} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1\ \checkmark$$Частые вопросы
Может ли длина единичного вектора отличаться от 1? Нет — по определению модуль единичного вектора всегда равен ровно 1 (с точностью до округления).
Что делать, если мой вектор (0, 0, 0)? У нулевого вектора нет направления, а его модуль равен 0, поэтому нормализовать его невозможно; в этом случае калькулятор возвращает нули.
Работает ли это для 2D-векторов? Да. Просто оставьте поле z равным 0, и калькулятор обработает вектор как двумерный.
