Что такое модуль вектора?
Модуль вектора — его обозначают как \(\lvert \vec{v} \rvert\) — это длина вектора, то есть расстояние по прямой от его начала до конца. Это всегда неотрицательное число, которое не зависит от направления вектора. Данный калькулятор находит модуль вектора по его координатам на плоскости (2D) или в пространстве (3D).
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, какой у вас вектор — на плоскости (2D) или в пространстве (3D). Затем введите координаты x и y (а для 3D — ещё и z). Координаты могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Калькулятор возводит каждую координату в квадрат, складывает их и извлекает квадратный корень — так получается модуль вектора.
Разбираем формулу
Формула — это прямое обобщение теоремы Пифагора. На плоскости:
$$\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2}}$$В пространстве добавляется третье слагаемое в квадрате:
$$\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$При возведении в квадрат знак «минус» исчезает, поэтому результат всегда положительный. Рядом с ответом выводится сумма квадратов — так вы сможете проверить каждый шаг расчёта.
Пример с решением
Возьмём вектор в пространстве \(v = (3, 4, 12)\). Возводим каждую координату в квадрат: \(9 + 16 + 144 = 169\). Модуль равен \(\sqrt{169} = 13\). Классический пример на плоскости — вектор \((3, 4)\): \(9 + 16 = 25\), значит \(\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{25} = 5\).
Часто задаваемые вопросы
Может ли модуль быть отрицательным? Нет. Поскольку это квадратный корень из суммы квадратов, модуль всегда равен нулю или больше нуля. Нулю он равен только для нулевого вектора.
В каких единицах получается результат? Модуль выражается в тех же единицах, что и координаты. Если x, y, z заданы в метрах, то и модуль будет в метрах.
Влияет ли направление? Нет. Модуль измеряет только длину. Два вектора, направленные в противоположные стороны, могут иметь одинаковый модуль.
