Что такое калькулятор векторов?
Этот калькулятор работает с двумя трёхмерными векторами — A и B, каждый из которых задаётся своими компонентами X, Y и Z. По этим шести числам он рассчитывает самые востребованные векторные величины из математики, физики и инженерии: длину (модуль) каждого вектора, скалярное произведение, векторное произведение и угол между двумя векторами. Это универсальный математический инструмент — он не привязан к какой-либо стране или системе единиц.
Как пользоваться калькулятором
Введите компоненты X, Y и Z для вектора A и вектора B. Если какая-то компонента не нужна, поставьте 0 (для плоского, двумерного вектора задайте \(Z = 0\)). Нажмите «Рассчитать» — и вы увидите выделенное скалярное произведение, а также подробную разбивку: длины векторов, сам вектор векторного произведения, его длину и угол между A и B в градусах.
Разбор формул
Длина (модуль) вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его компонент:
$$\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$Скалярное произведение перемножает соответствующие компоненты и складывает их:
$$\vec{A}\cdot\vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z$$и оно связано с углом \(\theta\) соотношением \(\vec{A}\cdot\vec{B} = \lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\). Векторное произведение даёт новый вектор, перпендикулярный обоим исходным, с компонентами
$$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\ \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\ \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$
Пример с решением
Пусть \(A = (1, 2, 3)\) и \(B = (4, 5, 6)\). Скалярное произведение:
$$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$\(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417\), \(\lVert\vec{B}\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8{,}7750\). Векторное произведение:
$$(2\cdot 6 - 3\cdot 5,\ 3\cdot 4 - 1\cdot 6,\ 1\cdot 5 - 2\cdot 4) = (-3,\ 6,\ -3)$$его длина \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485\). Угол:
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{32}{3{,}7417\cdot 8{,}7750} \right) \approx 12{,}93^\circ$$Частые вопросы
Можно ли работать с двумерными векторами? Да — задайте компоненту \(Z = 0\) для обоих векторов, и все формулы по-прежнему дадут верный результат.
Что показывает векторное произведение? Это вектор, перпендикулярный обоим исходным; его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Что будет, если вектор нулевой? Длина окажется равной 0, а угол не определён, поэтому в этом случае калькулятор показывает угол как 0.
