Калькулятор умножения вектора на скаляр

Введите расчет

Вектор a (координаты через запятую) Введите координаты a1, a2, ..., an через запятую.

Scalar λ

Результатов

Scalar product c = λa

( 3.0, 6.0, 9.0 )

результирующий вектор той же размерности

Scalar λ	3
Размерность (n)	3

Что такое умножение вектора на скаляр?

Умножение вектора на скаляр — это операция, в которой берётся одно число (скаляр, обозначаемый лямбдой λ) и вектор a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\), а в результате получается новый вектор c, у которого каждая координата умножена на этот скаляр. Это одна из двух базовых операций линейной алгебры (наряду со сложением векторов), и она работает одинаково везде — это чистая математика без единиц измерения и каких-либо национальных особенностей.

С геометрической точки зрения умножение на положительный скаляр растягивает или сжимает вектор вдоль его собственного направления; отрицательный скаляр дополнительно разворачивает его в противоположную сторону; а скаляр, равный нулю, превращает вектор в нулевой.

Умножение на скаляр растягивает, сжимает или разворачивает вектор в зависимости от лямбды.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты вектора через запятую (например, 1, 2, 3), а затем укажите скаляр λ. Калькулятор умножит каждую координату на λ и вернёт результирующий вектор той же размерности. Допускаются отрицательные, дробные и нулевые значения.

Формула

Для вектора \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) и скаляра \(\lambda\) результат равен

$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$

Иначе говоря, для каждого индекса \(i\): \(c_i = \lambda \cdot a_i\). Размерность результата всегда совпадает с размерностью исходного вектора.

Реклама

Каждая компонента умножается на один и тот же скаляр лямбда.

Разбор примера

Пусть \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) и \(\lambda = 3\). Тогда

$$c_1 = 3 \times 1 = 3, \quad c_2 = 3 \times 2 = 6, \quad c_3 = 3 \times 3 = 9$$

то есть \(\mathbf{c} = (3, 6, 9)\). Второй пример: \(\mathbf{a} = (-2, 0.5, 4)\) при \(\lambda = -2\) даёт \(\mathbf{c} = (4, -1, -8)\).

Частые вопросы

Это скалярное произведение? Нет. Скалярное (внутреннее) произведение умножает два вектора и возвращает одно число. Здесь же мы умножаем один вектор на одно число и снова получаем вектор.

Что даёт \(\lambda = 0\)? Нулевой вектор \((0, 0, \dots, 0)\) той же размерности. При \(\lambda = 1\) вектор остаётся без изменений, а при \(\lambda = -1\) получается противоположный (с обратным знаком) вектор.

Меняется ли размерность? Никогда — результирующий вектор всегда содержит ровно столько же координат, сколько и исходный.