Что такое произведение матрицы на вектор?
Произведение матрицы на вектор берёт матрицу A размера m×n и вектор-столбец x размерности n и даёт новый вектор-столбец c = A·x размерности m. Это одна из базовых операций линейной алгебры: на ней держатся линейные преобразования, системы уравнений, компьютерная графика и машинное обучение. Калькулятор работает с действительными числами и применим везде — это чистая математика без привязки к какой-либо стране или местным правилам.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число строк (i) и число столбцов (j) матрицы A. Введите элементы матрицы в поле-сетку: по одной строке матрицы на каждой строке ввода, а значения разделяйте пробелами или запятыми. Введите вектор x — по одному числу на позицию; его длина должна совпадать с числом столбцов матрицы A. Пустые ячейки считаются равными 0. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть итоговый вектор-столбец.
Разбор формулы
Для каждого индекса результата i от 1 до m (числа строк) i-я компонента — это взвешенная сумма элементов i-й строки матрицы и компонент вектора:
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
По сути это скалярное произведение i-й строки матрицы A на вектор x. Умножение определено только тогда, когда число столбцов A равно длине x (\(\text{cols} = n\)). Тогда результат — вектор длины m, равной числу строк матрицы A.
Пример с решением
Пусть A — матрица 3×3 со строками [1 2 3], [4 5 6], [7 8 9], а x = (1, 0, -1). Тогда $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2,$$ $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ Результат — вектор-столбец c = (-2, -2, -2).
Частые вопросы
Что если размеры не совпадают? Если число столбцов A не равно длине вектора x, произведение не определено, и калькулятор вместо числа покажет сообщение об ошибке.
Может ли A быть неквадратной? Да. Матрица 2×3, умноженная на вектор из 3 компонент, даёт вектор из 2 компонент. Длина результата всегда равна числу строк матрицы A.
Что даёт матрица 1×n? Матрица 1×n, умноженная на вектор из n компонент, даёт одно число — фактически скалярное произведение двух векторов, которое здесь показано как вектор длины 1.
