Калькулятор векторного произведения 3D-векторов

Введите расчет

a₁ (x)

a₂ (y)

a₃ (z)

b₁ (x)

b₂ (y)

b₃ (z)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Magnitude of Cross Product

   

   Length of the resulting vector, where cx, cy, cz are the cross product components above

Результатов

Векторное произведение a × b

( -3, 6, -3 )

вектор-результат, перпендикулярный a и b

Координата i (x)	-3
Координата j (y)	6
Координата k (z)	-3
Модуль |a × b|	7,3485

Что такое векторное произведение?

Векторное произведение двух трёхмерных векторов a и b даёт новый вектор, перпендикулярный (ортогональный) каждому из исходных. Это базовая операция в физике и инженерии: с её помощью вычисляют момент силы, момент импульса, силу Лоренца, а также нормали к поверхностям в 3D-графике. В отличие от скалярного произведения, которое возвращает одно число, векторное произведение возвращает именно вектор.

Векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) перпендикулярно и a, и b по правилу правой руки.

Как пользоваться калькулятором

Введите три координаты вектора a (a₁, a₂, a₃) и вектора b (b₁, b₂, b₃). Калькулятор выдаст результат \(\vec{a} \times \vec{b}\) в виде упорядоченной тройки координат, а также его модуль (длину). Значения могут быть положительными, отрицательными или дробными.

Разбор формулы

По координатам векторное произведение определяется так:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$

Каждая координата — это определитель матрицы 2×2, составленный из оставшихся координат. Модуль равен корню из суммы квадратов координат и одновременно равен \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin(\theta)\) — площади параллелограмма, построенного на двух векторах.

Реклама

Правило правой руки задаёт направление \(\vec{a} \times \vec{b}\).

Пример с решением

Пусть \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) и \(\vec{b} = (4, 5, 6)\). Тогда:

$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$

Значит, \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\), а его модуль равен \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).

Частые вопросы

Коммутативно ли векторное произведение? Нет. \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\): если поменять векторы местами, направление результата меняется на противоположное.

Что будет, если векторы параллельны? Результат — нулевой вектор (0, 0, 0), поскольку \(\sin(\theta) = 0\).

Что показывает модуль результата? Он равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах. Нулевой модуль означает, что векторы линейно зависимы (параллельны или направлены в противоположные стороны).