Что считает этот калькулятор
Инструмент строит доверительный интервал для разности средних двух независимых генеральных совокупностей, \(\mu_1 - \mu_2\). В основе лежит двухвыборочный t-метод Уэлча (без объединения дисперсий): он не требует, чтобы дисперсии в группах были равны, поэтому именно его стоит выбирать по умолчанию для большинства реальных данных.
Как пользоваться
Для каждой из двух групп укажите выборочное среднее, выборочное стандартное отклонение и объём выборки, затем выберите уровень доверия (90%, 95% или 99%). Калькулятор покажет точечную оценку \((\bar{x}_1 - \bar{x}_2)\), предельную ошибку, стандартную ошибку, критическое значение t, число степеней свободы по Уэлчу, а также нижнюю и верхнюю границы интервала.
Разбор формулы
Интервал центрируется на разности двух выборочных средних. Половина его ширины (предельная ошибка) равна критическому значению t, умноженному на стандартную ошибку, которая объединяет обе группы:
$$\text{SE} = \sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1} + \dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$$Число степеней свободы вычисляется по приближению Уэлча — Саттертуэйта, а критическое значение t берётся для выбранного двустороннего уровня доверия. Чем шире интервал, тем больше неопределённость; крупные выборки и небольшие стандартные отклонения его сужают.
$$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\,df} \cdot \sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1} + \dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$$
Пример расчёта
Пусть в группе 1: \(\bar{x}_1 = 10\), \(s_1 = 2{,}5\), \(n_1 = 30\), а в группе 2: \(\bar{x}_2 = 8\), \(s_2 = 3{,}0\), \(n_2 = 30\), при уровне доверия 95%. Разность равна 2.
$$\text{SE} = \sqrt{6{,}25/30 + 9/30} = \sqrt{0{,}5083} \approx 0{,}7130$$Число степеней свободы по Уэлчу \(\approx 56{,}2\), отсюда \(t \approx 2{,}003\). Предельная ошибка \(\approx 1{,}428\), поэтому 95%-й интервал примерно от 0,572 до 3,428. Поскольку интервал не содержит 0, средние значимо различаются на уровне 5%.
Частые вопросы
Объединять дисперсии или нет? Этот калькулятор использует метод без объединения (Уэлча) — его и рекомендуют, если вы не уверены, что дисперсии в обеих совокупностях равны.
Что значит, если интервал содержит 0? Если 0 попадает внутрь интервала, данные согласуются с тем, что реальной разности между средними на этом уровне доверия нет.
Почему значение t не совпадает с табличным в точности? Критическое значение рассчитывается высокоточным численным приближением; оно совпадает со стандартными таблицами t вплоть до нескольких знаков после запятой.
