À quoi sert ce calculateur
Cet outil estime un intervalle de confiance pour la différence entre les moyennes de deux populations indépendantes, \(\mu_1 - \mu_2\). Il s'appuie sur la méthode t de Welch (variances non regroupées), qui ne suppose pas l'égalité des variances entre les deux groupes : c'est donc l'option par défaut la plus fiable pour la plupart des données réelles.
Mode d'emploi
Saisissez la moyenne, l'écart-type et l'effectif de l'échantillon pour chacun de vos deux groupes, puis choisissez un niveau de confiance (90 %, 95 % ou 99 %). Le calculateur affiche l'estimation ponctuelle \((\bar{x}_1 - \bar{x}_2)\), la marge d'erreur, l'erreur type, la valeur critique de t, les degrés de liberté de Welch, ainsi que les bornes inférieure et supérieure de l'intervalle.
La formule expliquée
L'intervalle est centré sur la différence des deux moyennes d'échantillon. La demi-largeur (marge d'erreur) correspond à la valeur critique de t multipliée par l'erreur type, laquelle combine les deux groupes :
$$\text{SE} = \sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1} + \dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$$Les degrés de liberté proviennent de l'approximation de Welch-Satterthwaite, et la valeur critique de t est déterminée pour le niveau de confiance bilatéral choisi. Un intervalle plus large traduit davantage d'incertitude ; des échantillons plus grands et des écarts-types plus faibles le resserrent.
$$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\,df} \cdot \sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1} + \dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$$$$df = \dfrac{\left(\frac{s_1^{2}}{n_1} + \frac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\frac{(s_1^{2}/n_1)^{2}}{n_1-1} + \frac{(s_2^{2}/n_2)^{2}}{n_2-1}}$$
Exemple concret
Supposons que le groupe 1 présente \(\bar{x}_1 = 10\), \(s_1 = 2{,}5\), \(n_1 = 30\), et que le groupe 2 présente \(\bar{x}_2 = 8\), \(s_2 = 3{,}0\), \(n_2 = 30\), à un niveau de confiance de 95 %. La différence vaut 2.
$$\text{SE} = \sqrt{\dfrac{6{,}25}{30} + \dfrac{9}{30}} = \sqrt{0{,}5083} \approx 0{,}7130$$Les degrés de liberté de Welch valent environ 56,2, ce qui donne \(t \approx 2{,}003\). La marge d'erreur est d'environ 1,428, soit un intervalle à 95 % allant d'environ 0,572 à 3,428. Comme l'intervalle exclut 0, les moyennes diffèrent significativement au seuil de 5 %.
FAQ
Faut-il utiliser une variance regroupée ou non regroupée ? Ce calculateur applique la méthode non regroupée (Welch), recommandée sauf si vous êtes certain que les variances des deux populations sont égales.
Que signifie un intervalle qui contient 0 ? Si 0 se trouve à l'intérieur de l'intervalle, les données sont compatibles avec l'absence de différence réelle entre les deux moyennes à ce niveau de confiance.
Pourquoi la valeur de t ne provient-elle pas exactement d'une table ? La valeur critique est calculée à l'aide d'une approximation numérique de haute précision ; elle correspond aux tables de t classiques à plusieurs décimales près.
