什么是叉乘？
两个三维向量 a 和 b 的叉乘（向量积）会得到一个新向量，它同时垂直（正交）于两个输入向量。叉乘在物理学和工程学中至关重要，常用于计算力矩、角动量、磁力，以及三维图形中的曲面法线。与点乘只返回一个数值不同，叉乘返回的是一个向量。
如何使用本计算器
分别输入向量 a 的三个分量（a₁、a₂、a₃）和向量 b 的三个分量（b₁、b₂、b₃）。计算器会以有序三元组的形式给出叉乘结果 \(\vec{a} \times \vec{b}\)，并附上它的模长。各分量可以是正数、负数或小数。
公式详解
叉乘按分量定义如下：
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$
每个分量都是由剩余两个坐标构成的 2×2 行列式。模长等于各分量平方和的平方根，同时也等于 \(|a||b|\sin(\theta)\)，即两个向量所张成的平行四边形的面积。
$$\left\lVert \vec{a} \times \vec{b} \right\rVert = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$
计算实例
设 \(a = (1, 2, 3)\)，\(b = (4, 5, 6)\)，则：
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
因此 \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\)，模长为 \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\)。
常见问题
叉乘满足交换律吗？不满足。\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)；交换两个向量的顺序会使结果方向相反。
如果两个向量平行会怎样？叉乘结果是零向量 \((0, 0, 0)\)，因为此时 \(\sin(\theta) = 0\)。
模长代表什么？它等于两个向量所构成的平行四边形的面积；模长为零意味着两个向量线性相关（平行或反平行）。
