外積（クロス積）とは？
2つの3次元ベクトル a と b の外積は、入力した両方のベクトルに対して垂直（直交）な新しいベクトルを生み出します。これは物理学や工学において、トルク・角運動量・磁力の計算や、3Dグラフィックスの面法線（サーフェスノーマル）を求める際に欠かせない基本演算です。1つの数値（スカラー）を返す内積（ドット積）とは異なり、外積の結果は「ベクトル」になる点が大きな特徴です。
この計算ツールの使い方
ベクトル a の3つの成分（a₁, a₂, a₃）と、ベクトル b の3つの成分（b₁, b₂, b₃）を入力してください。本ツールは外積 \(\vec{a} \times \vec{b}\) の結果を順序付きの3成分（x, y, z）として表示し、あわせてその大きさ（ノルム）も算出します。入力値は正の数・負の数・小数のいずれでも構いません。
計算式の解説
外積は、成分ごとに次のように定義されます。
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$各成分は、残りの座標からなる2×2行列式に対応しています。大きさ（ノルム）は各成分の2乗和の平方根に等しく、これは \(|a||b|\sin(\theta)\) ——すなわち2つのベクトルが張る平行四辺形の面積——とも一致します。
具体的な計算例
a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) としましょう。このとき、
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$したがって \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\) となり、その大きさは \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\) です。
よくある質問（FAQ）
外積は交換法則が成り立ちますか？ いいえ。\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) であり、計算する順序を入れ替えると結果のベクトルの向きが逆になります。
2つのベクトルが平行のときはどうなりますか？ \(\sin(\theta) = 0\) となるため、外積はゼロベクトル (0, 0, 0) になります。
大きさ（ノルム）は何を表していますか？ 2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表します。大きさが0の場合は、2つのベクトルが線形従属（平行または反平行）であることを意味します。
