ما هو الضرب الاتجاهي؟
ينتج عن الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي) لمتجهين ثلاثيي الأبعاد a وb متجهٌ جديد يكون عموديًا (متعامدًا) على كلا المتجهين المدخلين. وهو مفهوم أساسي في الفيزياء والهندسة لحساب عزم الدوران، والزخم الزاوي، والقوة المغناطيسية، والمتجهات العمودية على الأسطح في الرسوميات ثلاثية الأبعاد. وعلى عكس الضرب القياسي (الضرب النقطي) الذي يعطي عددًا واحدًا، فإن الضرب الاتجاهي يُعيد متجهًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المركبات الثلاث للمتجه a (وهي a₁ وa₂ وa₃) والمتجه b (وهي b₁ وb₂ وb₃). تُعيد الحاسبة المتجه الناتج a × b على هيئة ثلاثية مرتبة من القيم إضافة إلى مقداره. ويمكن أن تكون القيم موجبة أو سالبة أو عشرية.
شرح القانون
يُعرَّف الضرب الاتجاهي حسب المركبات على النحو التالي:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$
كل مركبة هي محدِّد لمصفوفة 2×2 من الإحداثيات المتبقية. ويساوي المقدار الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات، وهو يساوي أيضًا \(|a||b|\sin(\theta)\)، أي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتد عليه المتجهان.
مثال محلول
لنفترض أن a = (1, 2, 3) وأن b = (4, 5, 6). إذًا:
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$
$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$
$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
وبذلك يكون a × b = (−3, 6, −3)، ومقداره \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\).
الأسئلة الشائعة
هل الضرب الاتجاهي إبدالي؟ لا. فإن \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)؛ أي أن تبديل ترتيب المتجهين يعكس اتجاه الناتج.
ماذا يحدث إذا كان المتجهان متوازيين؟ يكون الضرب الاتجاهي هو المتجه الصفري (0, 0, 0)، لأن \(\sin(\theta) = 0\).
ماذا يمثل المقدار؟ يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يكوّنه المتجهان، والمقدار الصفري يعني أنهما مترابطان خطيًا (متوازيان أو متعاكسان في الاتجاه).
