ما هو الجداء الخارجي للمتجهات؟
الجداء الخارجي (ويُسمّى أيضًا الجداء التنسوري أو الجداء الثنائي) لمتجهين يدمج متجهًا a طوله m مع متجه b طوله n لينتج مصفوفة C أبعادها m × n. وكل عنصر في المصفوفة هو ببساطة حاصل ضرب مركّبة من a في مركّبة من b: أي \(C[i][j] = a_i \times b_j\). وعلى عكس الجداء الداخلي (الجداء النقطي) الذي يختزل المتجهين في عدد واحد، فإن الجداء الخارجي يوسّعهما إلى مصفوفة كاملة. هذا مفهوم جبري خطي خالص ينطبق في كل مكان دون أي قواعد خاصة بمنطقة أو دولة معيّنة.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب مركّبات المتجه a، رقمًا واحدًا في كل سطر (أو افصل بينها بفواصل)، ثم كرّر الأمر نفسه مع المتجه b. لا حاجة لأن يكون المتجهان بالطول نفسه. اختر عدد المنازل العشرية التي تريد عرضها، ثم اضغط على زر الحساب. ستُظهر النتيجة الأبعاد (m × n) إضافةً إلى شبكة المصفوفة الكاملة. والحاسبة تدعم القيم السالبة والكسرية والصفرية جميعها.
شرح الصيغة
إذا اعتبرنا a متجهًا عموديًا (m × 1) واعتبرنا b متجهًا أفقيًا (1 × n، أي منقول b)، فإن \(C = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top}\). وضرب مصفوفة بأبعاد m × 1 في مصفوفة بأبعاد 1 × n يعطي مصفوفة أبعادها m × n. عدد الصفوف يساوي طول المتجه a، وعدد الأعمدة يساوي طول المتجه b. والمصفوفة الناتجة تكون رتبتها دائمًا 1 (وتصبح رتبتها 0 إذا كان أحد المتجهين أصفارًا بالكامل).
$$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$
مثال محلول
لنفترض أن a = [1، 2، 3] (حيث m = 3) وأن b = [4، 5] (حيث n = 2). عندئذٍ تكون C بأبعاد 3 × 2:
الصف الأول: \(1 \times 4 = 4\)، \(1 \times 5 = 5\)
الصف الثاني: \(2 \times 4 = 8\)، \(2 \times 5 = 10\)
الصف الثالث: \(3 \times 4 = 12\)، \(3 \times 5 = 15\)
وبذلك تكون C = [[4، 5]، [8، 10]، [12، 15]]، بعدد صفوف = 3 وعدد أعمدة = 2.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون المتجهان بالطول نفسه؟ لا. الجداء الخارجي ينتج مصفوفة أبعادها m × n لأي طولين m وn. أما اشتراط تساوي الطول فهو من خصائص الجداء الداخلي (النقطي) وليس الخارجي.
هل الجداء الخارجي تبديلي؟ لا. تبديل المدخلات يؤدي إلى منقول النتيجة: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).
ما الفرق بينه وبين الجداء الاتجاهي (التقاطعي)؟ الجداء الاتجاهي معرّف فقط للمتجهات ثلاثية الأبعاد ويُرجع متجهًا، بينما الجداء الخارجي يعمل مع أي أبعاد ويُرجع مصفوفة.
