ما هو إسقاط المتجهات؟
إسقاط المتجه a على المتجه b هو "ظل" المتجه a الذي يقع على الخط الذي يحدده اتجاه المتجه b. والناتج نفسه متجه يشير في الاتجاه نفسه الذي يشير إليه b (أو في عكسه تمامًا). وهو يجيب عن سؤال جوهري: ما مقدار a الواقع في محاذاة اتجاه b؟ تُعد هذه العملية أساسية في الفيزياء (تحليل القوى)، ورسوميات الحاسوب، وتعلّم الآلة، والجبر الخطي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مركبات المتجه a والمتجه b. أما في حالة المتجهات ثنائية الأبعاد فاترك خانتَي المركبة z فارغتين (وتأخذ القيمة الافتراضية 0). اضغط على زر الحساب لتحصل على متجه الإسقاط كاملًا، والعامل القياسي، وحاصلي الضرب النقطي، إضافة إلى مقدار (طول) الإسقاط.
شرح المعادلة
يُحسب الإسقاط على النحو التالي:
$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$
أولًا، احسب حاصل الضرب النقطي \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\,\text{b}_x + \text{a}_y\,\text{b}_y + \text{a}_z\,\text{b}_z\). ثم اقسمه على \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) (وهو مربع طول المتجه b) للحصول على عامل قياسي. وأخيرًا اضرب هذا العامل في كل مركبة من مركبات b لمضاعفتها. لاحظ أن b يجب أن يكون غير صفري؛ فإذا كان b متجهًا صفريًا فإن الإسقاط غير معرّف ونُعيد القيمة صفرًا.
مثال محلول
لنفترض أن a = (4، 1) وأن b = (2، 3). إذن \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11\)، و \(\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13\). ويكون العامل القياسي \(\frac{11}{13} \approx 0.8462\). أما متجه الإسقاط فهو \(0.8462 \cdot (2،\ 3) = (1.6923،\ 2.5385)\)، ومقداره \(\sqrt{1.6923^2 + 2.5385^2} \approx 3.0509\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الإسقاط القياسي وإسقاط المتجه؟ الإسقاط القياسي هو الطول ذو الإشارة \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\)، أي عدد واحد فقط. أما إسقاط المتجه (وهو ما تحسبه هذه الأداة) فيضرب ذلك في متجه الوحدة لـ b، ليعطي متجهًا حقيقيًا.
هل يمكن أن يشير الإسقاط في عكس اتجاه b؟ نعم — فإذا كان a·b سالبًا، يصبح العامل القياسي سالبًا ويشير متجه الإسقاط في الاتجاه المعاكس لـ b.
هل تعمل الأداة في الأبعاد الثلاثية؟ نعم. ما عليك سوى إدخال مركبات z لكلا المتجهين، أو تركها فارغة في المسائل ثنائية الأبعاد.
