ما هي حاسبة مقدار المتجه؟
حاسبة مقدار المتجه أداة تحسب طول المتجه انطلاقاً من مركباته الفردية. سواء كنت تتعامل مع متجه موضعٍ بسيط ثنائي الأبعاد أو متجه متعدد الأبعاد في الفيزياء أو تعلّم الآلة أو تحليل البيانات، فإن هذه الأداة تحسب المقدار (الذي يُعرف أيضاً بالمعيار أو القيمة المطلقة) في لحظات. وهي تدعم المتجهات من البُعد الثنائي (2D) حتى الخماسي (5D)، فتستطيع إدخال قيمتي X وY، ثم إضافة المركبات الاختيارية Z وW وV حسب الحاجة.
كيفية استخدام الحاسبة
- اختر عدد الأبعاد الذي تحتاجه (2D أو 3D أو 4D أو 5D).
- أدخل المركبتين X وY.
- إذا اخترت عدداً أكبر من الأبعاد، فاملأ القيم Z وW وV حسب المطلوب.
- اقرأ المقدار مباشرة — فالحاسبة تعرض النتيجة تلقائياً.
يمكنك استخدام قيم موجبة أو سالبة لأي مركبة؛ ومع ذلك يبقى المقدار دائماً صفراً أو قيمة موجبة.
شرح المعادلة
مقدار المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. وهذا امتداد مباشر لنظرية فيثاغورس إلى أي عدد من الأبعاد:
- ثنائي الأبعاد (2D): \(\|\vec{v}\| = \sqrt{\text{X}^{2} + \text{Y}^{2}}\)
- ثلاثي الأبعاد (3D): \(\|\vec{v}\| = \sqrt{\text{X}^{2} + \text{Y}^{2} + \text{Z}^{2}}\)
- متعدد الأبعاد (nD): \(\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^{2} + x_2^{2} + \ldots + x_n^{2}}\)
كل بُعد إضافي يضيف ببساطة حداً مربعاً جديداً داخل الجذر التربيعي، ولذلك ينطبق المنطق نفسه بسلاسة من البُعد الثنائي حتى الخماسي.
مثال محلول
لنفترض أن لديك متجهاً ثلاثي الأبعاد بمركبات X = 3 وY = 4 وZ = 12. عند تربيع كل قيمة نحصل على 9 و16 و144. ومجموعها يساوي 169. والجذر التربيعي للعدد 169 هو 13، إذاً يكون مقدار المتجه بالضبط 13. وهذه النتيجة الأنيقة مثالٌ معروف على «رباعية فيثاغورس».
$$\|\vec{v}\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يمثل مقدار المتجه؟ يمثل طول المتجه على خط مستقيم — أي المسافة من ذيله (نقطة الأصل) إلى رأسه، بصرف النظر عن الاتجاه.
هل يمكن أن يكون المقدار سالباً؟ لا. لأن كل مركبة تُربّع قبل الجمع، فإن القيمة الواقعة تحت الجذر التربيعي لا تكون سالبة أبداً، ومن ثمّ يكون المقدار دائماً صفراً أو قيمة موجبة.
ماذا لو كانت جميع المركبات أصفاراً؟ يكون المقدار صفراً. ويُسمى هذا «المتجه الصفري»، وهو متجه له طول لكن لا اتجاه محدد له.
لماذا الدعم حتى البُعد الخماسي (5D)؟ المتجهات متعددة الأبعاد شائعة في تعلّم الآلة والإحصاء والهندسة، حيث تحتوي نقاط البيانات غالباً على سماتٍ كثيرة. والمعادلة نفسها تعمل في أي عدد من الأبعاد.
