ما هو متجه الوحدة؟
متجه الوحدة هو متجه طوله (مقداره) يساوي 1 بالضبط، ويشير إلى الاتجاه نفسه الذي يشير إليه المتجه الأصلي. ويعني التطبيع تكبير المتجه أو تصغيره حتى يصبح طوله وحدة واحدة مع الحفاظ على اتجاهه دون تغيير. تُستخدم متجهات الوحدة على نطاق واسع في الفيزياء ورسوميات الحاسوب والروبوتات وتعلّم الآلة للتعبير عن الاتجاه الصرف بمعزل عن المقدار.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مركبتي X وY للمتجه. وإذا كنت تعمل في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فأدخل أيضًا المركبة Z (اتركها 0 إذا كان المتجه ثنائي الأبعاد). تقوم الحاسبة بحساب المقدار ثم تقسم كل مركبة عليه لتعيد لك متجه الوحدة \(\hat{u}\).
شرح المعادلة
بالنسبة لمتجه \(\vec{a} = (x, y, z)\)، يُحسب المقدار من العلاقة \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). أما متجه الوحدة فهو $$\hat{u} = \frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a} \rVert} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right)$$ أي أن كل مركبة تُقسم على المقدار. والنتيجة تحقق دائمًا \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\). لاحظ أنه لا يمكن تطبيع المتجه الصفري لأن مقداره يساوي 0.
مثال محلول
لنأخذ \(\vec{a} = (3, 4, 0)\). يكون المقدار $$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ ومتجه الوحدة هو $$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5},\; \frac{0}{5}\right) = (0.6,\; 0.8,\; 0)$$ وللتحقق: $$\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$$ وهذا يؤكد أن طوله يساوي وحدة واحدة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان متجهي هو المتجه الصفري؟ المتجه الصفري \((0, 0, 0)\) مقداره 0 ولا يمكن تطبيعه، لأن القسمة على صفر غير معرّفة، لذا تُعيد الحاسبة القيمة 0 لكل مركبة في هذه الحالة.
هل تعمل الحاسبة مع المتجهات ثنائية الأبعاد؟ نعم. اترك المركبة Z مساوية للصفر وستختزل المعادلة تلقائيًا إلى الحالة ثنائية الأبعاد.
هل يمكن أن تكون مركبات متجه الوحدة سالبة؟ نعم. يُحافَظ على الاتجاه، فإذا كان المتجه الأصلي يشير إلى اتجاه سالب، فسيشير متجه الوحدة إلى الاتجاه نفسه؛ فقط طوله هو ما يُطبَّع ليصبح 1.
