ما هي حاسبة دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي 1 ومركزها نقطة الأصل (0، 0). لأي زاوية \(\theta\) تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من المحور السيني الموجب، تكون النقطة التي يلتقي عندها الشعاع النهائي للزاوية مع الدائرة لها الإحداثيات \((\cos\theta,\; \sin\theta)\). تمنحك هذه الحاسبة تلك النقطة على الفور إلى جانب قيم \(\cos\theta\) و \(\sin\theta\) و \(\tan\theta\) — لأي زاوية تُدخلها سواء بالدرجات أو بالراديان.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة الزاوية، ثم حدّد ما إذا كانت بالدرجات أم بالراديان. تقوم الحاسبة بالتحويل تلقائيًا عند الحاجة، وتعرض لك الإحداثي السيني (\(\cos\theta\))، والإحداثي الصادي (\(\sin\theta\))، وقيمة الظل (\(y/x\))، إضافةً إلى الزاوية مُعبَّرًا عنها بالوحدتين معًا. يمكن أن تكون الزاوية سالبة أو أكبر من 360° — إذ تدور الدوال المثلثية حول الدائرة تلقائيًا.
شرح الصيغة
بما أن نصف القطر يساوي 1، فإن مثلثات المثلث القائم الأساسية تتبسّط إلى متطابقتين أنيقتين هما
$$(x,\,y) = \left( \cos\theta,\; \sin\theta \right), \quad \theta = \text{Angle} \times \frac{\pi}{180}$$أما الظل فيساوي النسبة \(y/x = \sin\theta / \cos\theta\)، وهي تمثّل ميل الشعاع النهائي. وعندما يكون \(\cos\theta = 0\) (عند 90° و 270°)، يصبح الظل غير معرَّف لأن الشعاع يصير عموديًا.
مثال محلول
عند \(\theta = 45°\): نجد أن \(\cos 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0.7071\) و \(\sin 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0.7071\)، وبذلك تكون النقطة \((0.7071,\; 0.7071)\). ويكون الظل:
$$\tan 45° = \frac{0.7071}{0.7071} = 1$$وهذا يطابق القيمة الشهيرة في دائرة الوحدة حيث ينصّف الشعاع عند 45° الربع الأول من المستوى.
الأسئلة الشائعة
ماذا تمثّل النقطة على دائرة الوحدة؟ كل نقطة \((\cos\theta,\; \sin\theta)\) تُظهر المركبتين الأفقية والرأسية لاتجاهٍ طوله وحدة واحدة عند الزاوية \(\theta\).
لماذا تظهر قيمة \(\tan\theta\) أحيانًا فارغة أو NaN؟ عند 90° و 270° يكون جيب التمام صفرًا، وبالتالي فإن القسمة عليه تجعل الظل غير معرَّف.
هل يمكنني إدخال زوايا تتجاوز 360°؟ نعم. دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان، لذا فإن 405° تعطي النتيجة نفسها التي تعطيها 45°.
