ما هي معادلة الدائرة؟
الدائرة هي مجموعة كل النقاط في المستوى التي تبعد مسافة ثابتة — هي نصف القطر r — عن نقطة مركز ثابتة (h، k). تأخذ هذه الحاسبة إحداثيات المركز ونصف القطر، ثم تنتج لك الصيغة القياسية والصيغة العامة لمعادلة الدائرة، إلى جانب قطرها ومحيطها ومساحتها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الإحداثي السيني للمركز (h)، والإحداثي الصادي للمركز (k)، ونصف القطر (r). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك المعادلة بالصيغة القياسية، والصيغة العامة بعد فك الأقواس، بالإضافة إلى القياسات الأساسية. لاحظ أن نصف القطر إذا كان صفرًا فإنه يمثل نقطة واحدة فقط، لذا استخدم قيمة موجبة للحصول على دائرة حقيقية.
شرح الصيغة الرياضية
تُشتق الصيغة القياسية مباشرة من قانون المسافة: المسافة بين أي نقطة (x، y) والمركز (h، k) تساوي r، أي أن \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). وبتربيع الطرفين نحصل على
$$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$وعند فك المربعات تظهر الصيغة العامة
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$حيث \(D = -2h\)، و\(E = -2k\)، و\(F = h^2 + k^2 - r^2\).
مثال محلول
لنفترض أن المركز عند النقطة (3، −2) ونصف القطر يساوي 5. تكون الصيغة القياسية هي
$$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$لأن \(r^2 = 25\). أما الصيغة العامة: \(D = -6\)، و\(E = 4\)، و\(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\)، فينتج
$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ويكون القطر 10، والمحيط \(2\pi \cdot 5 \approx 31.42\)، والمساحة \(\pi \cdot 25 \approx 78.54\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المركز عند نقطة الأصل؟ عندما يكون \((h, k) = (0, 0)\)، تتبسّط المعادلة إلى \(x^2 + y^2 = r^2\).
كيف أجد المركز ونصف القطر انطلاقًا من الصيغة العامة؟ بإكمال المربع: \(h = -D/2\)، و\(k = -E/2\)، و\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
هل يمكن أن يكون نصف القطر سالبًا؟ لا. نصف القطر مسافة، لذا تعتمد الحاسبة قيمته المطلقة.
