원의 방정식이란?
원은 평면 위에서 한 점(중심 \((h, k)\))으로부터 일정한 거리, 즉 반지름 \(r\)만큼 떨어진 점들을 모두 모은 도형입니다. 이 계산기는 중심 좌표와 반지름을 입력받아 원의 표준형과 일반형 방정식을 모두 구해 주고, 여기에 지름·둘레·넓이까지 함께 알려 줍니다.
계산기 사용법
중심의 x좌표(h), 중심의 y좌표(k), 그리고 반지름(r)을 차례로 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 표준형 방정식과 전개된 일반형, 그리고 주요 측정값이 한눈에 나타납니다. 반지름이 0이면 점 하나로 줄어들기 때문에, 제대로 된 원을 그리려면 반드시 양수 값을 사용해야 합니다.
공식 풀이
표준형은 거리 공식에서 바로 유도됩니다. 임의의 점 (x, y)에서 중심 (h, k)까지의 거리가 r과 같다고 두면 \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\) 이 되고, 양변을 제곱하면 다음과 같은 표준형이 나옵니다.
$$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$이 제곱식을 전개하면 일반형이 되는데,
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$이때 \(D = -2h\), \(E = -2k\), \(F = h^2 + k^2 - r^2\) 입니다.
예제로 확인하기
중심이 (3, −2)이고 반지름이 5인 경우를 살펴봅시다. \(r^2 = 25\)이므로 표준형은 다음과 같습니다.
$$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$일반형을 구하면 \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\) 가 되어 다음과 같습니다.
$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$지름은 10, 둘레는 \(2\pi \cdot 5 \approx 31.42\), 넓이는 \(\pi \cdot 25 \approx 78.54\) 입니다.
자주 묻는 질문
중심이 원점에 있으면 어떻게 되나요? \((h, k) = (0, 0)\)일 때는 방정식이 \(x^2 + y^2 = r^2\) 로 간단해집니다.
일반형에서 중심과 반지름을 어떻게 찾나요? 완전제곱식으로 정리하면 됩니다. \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\) 로 구할 수 있습니다.
반지름이 음수가 될 수도 있나요? 아니요. 반지름은 거리이므로 음수가 될 수 없으며, 계산기는 입력값의 절댓값을 사용합니다.
