원의 방정식 일반형 계산기

계산 입력

중심 x좌표 (h)

중심 y좌표 (k)

반지름 (r)

결과

원의 방정식 일반형

x² + y² + (-0)x + (-0)y + (-25) = 0

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

D 계수	-0
E 계수	-0
F 상수	-25
중심 (h, k)	(0, 0)
반지름	5

원의 방정식 일반형이란?

원은 보통 표준형인 \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) 로 나타낼 때 가장 직관적입니다. 여기서 \((h, k)\)는 중심, \(r\)은 반지름이죠. 이 식을 전개하고 항을 정리하면 일반형인 \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) 이 됩니다. 이 계산기는 그 변환 과정을 대신 처리해 \(D\), \(E\), \(F\) 세 가지 계수를 바로 알려 줍니다.

좌표평면에서 중심 \((h, k)\)과 반지름 \(r\)로 정의된 원.

계산기 사용 방법

중심의 x좌표(h), 중심의 y좌표(k), 그리고 반지름(r)을 입력하세요. 그러면 일반형 계수가 즉시 계산되고 완성된 방정식까지 함께 표시됩니다. 음수 중심 좌표와 소수점 반지름도 모두 지원합니다.

공식 풀이

\((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) 에서 시작해 전개하면 \(x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\) 이 됩니다. 모든 항을 한쪽으로 옮기면 \(x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\) 이고, 이를 \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) 과 비교하면 다음을 얻습니다.

$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$$

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중심 \((h, k)\)과 반지름 \(r\)이 계수 \(D\), \(E\), \(F\)를 결정한다.

예제로 확인하기

중심이 \((3, -2)\)이고 반지름이 \(4\)인 원을 생각해 봅시다. 그러면 \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\), 그리고 $$F = 3^{2} + (-2)^{2} - 4^{2} = 9 + 4 - 16 = -3$$ 이 됩니다. 따라서 일반형은 \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0\) 입니다.

자주 묻는 질문

다시 중심과 반지름으로 되돌릴 수 있나요? 네, 가능합니다. \(D\), \(E\), \(F\)가 주어지면 \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\) 로 복원할 수 있습니다.

F 값 때문에 반지름이 허수가 되면 어떻게 되나요? \(h^{2} + k^{2} - F\) 가 음수이면 실제 원이 존재하지 않습니다(이른바 "허원"). 유효한 반지름이 되려면 \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F \geq 0\) 이어야 합니다.

D와 E의 순서가 중요한가요? \(D\)는 항상 \(x\)에, \(E\)는 항상 \(y\)에 곱해집니다. 따라서 각 계수를 해당 변수와 짝지어 두는 것이 중요합니다.