지름의 두 끝점으로 원의 방정식 구하기

계산 입력

끝점 1 — x₁

끝점 1 — y₁

끝점 2 — x₂

끝점 2 — y₂

결과

원의 방정식

(x − 1)² + (y − 7)² = 25

표준형 (x − h)² + (y − k)² = r²

중심 (h, k)	(1, 7)
반지름 (r)	5
지름	10
r²	25

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요?

원의 지름을 이루는 두 끝점만 알면, 이 도구가 원의 완전한 표준형 방정식 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)를 구해 줍니다. 중심 \((h, k)\), 반지름 \(r\), 지름의 전체 길이, 그리고 \(r^2\)(방정식 우변의 값)까지 함께 보여 줍니다. 좌표평면 위의 어떤 두 점에도 적용되는 순수 기하 계산 도구입니다.

사용 방법

첫 번째 지름 끝점을 \((x_1, y_1)\), 두 번째 끝점을 \((x_2, y_2)\) 형태로 입력하세요. 음수와 소수도 모두 사용할 수 있습니다. 계산 버튼을 누르면 방정식과 함께 모든 관련 값이 표시됩니다. 단, 두 점은 서로 달라야 합니다. 같은 점을 입력하면 반지름이 0인 퇴화된 원이 됩니다.

공식 풀이

지름은 항상 중심을 지나므로, 원의 중심은 두 끝점의 중점과 정확히 일치합니다. 즉

$$h = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad k = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

입니다. 지름의 길이는 두 끝점 사이의 거리이며, 거리 공식

$$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

로 구합니다. 반지름은 이 값의 절반입니다. 구한 중심과 \(r^2\)을

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

에 대입하면 원의 방정식이 완성됩니다.

중심은 지름 양 끝점의 중점이며, 반지름은 그 사이 거리의 절반입니다.

예제 풀이

끝점이 \((-2, 3)\)과 \((4, 11)\)인 경우를 보겠습니다. 중심은 \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+11}{2}\right) = (1, 7)\)입니다. 지름 \(= \sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) 이므로, \(r = 5\), \(r^2 = 25\) 입니다. 따라서 원의 방정식은

$$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$$

입니다.

자주 묻는 질문

두 끝점이 같은 점이면 어떻게 되나요? 반지름이 0이 되어 '원'은 하나의 점이 됩니다. 방정식은 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\) 형태가 됩니다.

점을 입력하는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 중점과 거리는 대칭적으로 계산되므로, 두 끝점을 바꿔 넣어도 같은 원이 나옵니다.

음수나 소수 좌표도 사용할 수 있나요? 네. 음수, 분수, 소수를 포함한 모든 실수를 사용할 수 있습니다.