Что делает этот калькулятор
Если известны две крайние точки диаметра окружности, этот инструмент составит её полное каноническое уравнение в виде \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Дополнительно он покажет координаты центра \((h, k)\), радиус \(r\), полную длину диаметра и значение \(r^2\) (правую часть уравнения). Это чисто геометрический калькулятор, который работает для любой пары точек на координатной плоскости.
Как пользоваться
Введите координаты первого конца диаметра как \((x_1, y_1)\), а второго — как \((x_2, y_2)\). Допускаются отрицательные и дробные значения. Нажмите «Рассчитать», и вы увидите уравнение и все промежуточные величины. Точки должны быть различными: если они совпадают, получается вырожденная окружность нулевого радиуса.
Разбор формулы
Диаметр проходит через центр, поэтому центр — это в точности середина отрезка между его концами: \(h = (x_1 + x_2) / 2\) и \(k = (y_1 + y_2) / 2\). Длина диаметра равна расстоянию между концами и вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Радиус равен половине этого значения. Подставив координаты центра и \(r^2\) в выражение \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), получаем искомое уравнение.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ k &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right.$$
Пример решения
Концы диаметра: \((-2, 3)\) и \((4, 11)\). Центр: $$\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+11}{2}\right) = (1, 7).$$ Диаметр $$= \sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10,$$ значит \(r = 5\) и \(r^2 = 25\). Уравнение окружности: $$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25.$$
Частые вопросы
Что будет, если концы диаметра совпадают? Радиус равен 0, и «окружность» вырождается в одну точку; уравнение принимает вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\).
Важен ли порядок точек? Нет. Середина отрезка и расстояние между точками симметричны, поэтому при перестановке концов получается та же самая окружность.
Можно ли использовать отрицательные или дробные координаты? Да — подойдут любые действительные числа, в том числе отрицательные значения и дроби/десятичные.
