Что считает этот калькулятor
Сфероид — это эллипсоид вращения, то есть тело, которое получается, если вращать эллипс вокруг одной из его осей. Наш инструмент рассчитывает геометрию сегмента сфероида: части, которая остаётся, когда сфероид рассекают плоскостью перпендикулярно оси вращения. Калькулятор выдаёт объём сегмента, площадь основания — плоского кругового среза, и площадь боковой (изогнутой) поверхности стенки.
Как пользоваться
Введите экваториальную полуось a (радиус в двух направлениях, перпендикулярных оси), полуось c вдоль оси вращения и высоту сегмента h, отмеренную от нижней точки. Все три значения задавайте в одной и той же единице длины: объём получится в единицах³, а площади — в единицах². Высота должна удовлетворять условию \(0 < h \le 2c\); при \(h = 2c\) вы получите полный сфероид целиком.
Разбор формул
Для сфероида, заданного уравнением \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\), радиус диска на осевой высоте \(z\) равен \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\). Интегрируя \(\pi r^{2}\) от нижней точки (\(z = -c\)) до плоскости среза (\(z = h - c\)), получаем $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}}{3\,c^{2}}\left(3\,c - h\right).$$ Площадь основания равна \(\pi\), умноженному на квадрат радиуса среза: $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2\,c - h\right)}{c^{2}}.$$ Изогнутая стенка — это поверхность вращения, $$S = 2\pi \int_{-c}^{\,h-c} r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz,$$ которая здесь вычисляется методом точного численного интегрирования, поэтому формула одинаково работает для вытянутых, сплюснутых и сферических форм.
Пример расчёта
Возьмём \(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) (форма вытянутая, так как \(c > a\)). Объём $$V = \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21{,}206\ \text{единиц}^{3}.$$ Площадь основания $$A = \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3{,}75 \approx 11{,}781\ \text{единиц}^{2}.$$ Площадь боковой поверхности при интегрировании составляет около \(25{,}30\) единиц².
Частые вопросы
Входит ли площадь основания в площадь поверхности? Нет — в результате указана только площадь изогнутой стенки сфероида. Если нужна полная поверхность замкнутого сегмента, прибавьте к ней площадь основания.
Что будет, если a равно c? Сфероид превращается в шар радиуса \(R = a = c\), и результаты совпадают со стандартными формулами для шарового сегмента: \(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\) и \(S = 2\pi R h\).
Вытянутый или сплюснутый? Вытянутый (prolate) означает \(c > a\) (форма как у яйца вдоль оси); сплюснутый (oblate) означает \(c < a\) (приплюснутый). Численный интеграл поверхности справляется с обоими случаями без изменения формулы.
