Объём и площадь поверхности усечённого (частичного) эллипсоида

Введите расчет

Полуось a

Полуось b

Полуось c (вертикальная ось / ось среза)

Высота h (от 0 до 2c)

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Flat Cut Face Area

   

   Elliptical cross-section at the cut; u = h/c

2. Curved Lateral Surface Area

   

   Numerically integrated over phi from 0 to arccos(u-1) and theta from 0 to 2 pi; uses semi-axes a, b, c

3. Total Surface Area

   

   Sum of the flat cut face and the curved lateral surface

Результатов

Объём V

31,808626

cubic units (length³)

Площадь поверхности S

89,203364

square units (length²)

Площадь плоской грани среза	17,671459
Площадь изогнутой боковой поверхности	71,531905

Что вычисляет этот калькулятор

Инструмент рассчитывает объём и площадь поверхности усечённого (частичного) трёхосного эллипсоида. Возьмём полный эллипсоид с центром в начале координат и полуосями a, b и c, заданный уравнением \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\). Ось c направлена вертикально и проходит от \(z = -c\) (низ) до \(z = +c\) (верх). Тело рассекается горизонтальной плоскостью, и мы оставляем нижний сегмент высотой h, отсчитываемой вверх от \(z = -c\). Это чистая универсальная геометрия, применимая где угодно: все четыре параметра — это обычные числа в одной и той же единице длины.

Трёхосный эллипсоид, рассечённый горизонтальной плоскостью на высоте h, с заштрихованной частичной (усечённой) шапочкой.

Как пользоваться

Введите три полуоси a, b, c и высоту среза h. Высота должна удовлетворять условию \(0 \le h \le 2c\): при \(h = 2c\) вы получаете полный эллипсоид, а при \(h = c\) — ровно его половину. Результаты возвращаются в той же единице длины, что и введённые данные: объём — в кубических единицах, площадь поверхности — в квадратных. Выпадающих списков единиц нет, поэтому никакого масштабирования не выполняется.

Разбор формулы

Обозначим \(u = h/c\) — безразмерную долю заполнения. Интегрируя площадь эллиптического сечения \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) снизу вверх, получаем точную формулу в замкнутом виде:

$$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$

Площадь поверхности складывается из двух частей: плоской эллиптической грани среза площадью \(\pi a b\left(2u - u^2\right)\) и изогнутой боковой поверхности сегмента. Поскольку для поверхности трёхосного эллипсоида не существует элементарной замкнутой формулы, изогнутая часть вычисляется численно — двойным интегралом по методу Симпсона от элемента поверхности эллипсоида по \(\theta\) в диапазоне \([0, 2\pi]\) и \(\phi\) в диапазоне \([0, \arccos(u-1)]\).

Реклама

Поперечное сечение, показывающее связь высоты разреза h с полуосью c \((u = h/c)\).

Пример расчёта

Пусть \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\), тогда \(u = 0{,}75\). Объёмный член $$(-0{,}25) - \frac{(-0{,}25)^{3}}{3} + \frac{2}{3} = 0{,}421875,$$ откуда $$V = \pi\cdot24\cdot0{,}421875 \approx \mathbf{31{,}81}.$$ У плоской грани $$k^2 = 2u - u^2 = 0{,}9375,$$ площадь $$\pi\cdot6\cdot0{,}9375 \approx 17{,}67.$$ Изогнутый сегмент при интегрировании даёт примерно 81,2, поэтому суммарная площадь поверхности \(S \approx \mathbf{98{,}9}\).

Частые вопросы

Точен ли объём? Да — объём вычисляется по формуле в замкнутом виде, без каких-либо приближений.

Точна ли площадь поверхности? Плоская грань среза вычисляется точно; изогнутый сегмент рассчитывается численным интегрированием высокого разрешения (\(64\times64\) панелей), что обеспечивает точность до нескольких значащих цифр.

Что если \(h > 2c\)? Высота ограничивается значением \(2c\), что соответствует полному эллипсоиду (площадь плоской грани обращается в ноль).