Công cụ này làm gì
Công cụ này giúp bạn tính thể tích và diện tích bề mặt của một ellipsoid ba trục bị cắt (một phần). Hãy bắt đầu với một ellipsoid hoàn chỉnh có tâm tại gốc tọa độ, với các bán trục a, b và c, được xác định bởi phương trình \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\). Trục c là trục thẳng đứng, chạy từ \(z = -c\) (đáy) đến \(z = +c\) (đỉnh). Ta cắt khối này bằng một mặt phẳng ngang và giữ lại phần chỏm dưới có chiều cao h đo từ \(z = -c\) lên trên. Đây là bài toán hình học thuần túy và phổ quát, áp dụng được ở bất cứ đâu — cả bốn giá trị đầu vào đều là những con số đơn giản theo cùng một đơn vị độ dài.
Cách sử dụng
Nhập ba bán trục a, b, c và chiều cao mặt cắt h. Chiều cao phải thỏa mãn điều kiện \(0 \le h \le 2c\); khi \(h = 2c\) bạn có toàn bộ ellipsoid, còn khi \(h = c\) bạn có đúng một nửa của nó. Kết quả trả về theo cùng đơn vị độ dài mà bạn đã dùng: thể tích tính bằng đơn vị khối, diện tích bề mặt tính bằng đơn vị vuông. Không có ô chọn đơn vị nên không có hệ số quy đổi nào được áp dụng.
Giải thích công thức
Đặt \(u = h/c\) là tỉ lệ lấp đầy không thứ nguyên. Lấy tích phân diện tích tiết diện hình elip \(\pi ab(1 - (t/c)^2)\) từ đáy lên trên, ta thu được công thức chính xác dạng đóng:
$$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$Diện tích bề mặt được chia thành hai phần: một mặt cắt phẳng hình elip có diện tích \(\pi ab(2u - u^2)\), và phần chỏm cong bên ngoài. Vì bề mặt của ellipsoid ba trục không có công thức dạng đóng sơ cấp, phần cong được tính bằng tích phân kép số (theo phương pháp Simpson) của phần tử diện tích bề mặt ellipsoid theo \(\theta\) trong khoảng \([0, 2\pi]\) và \(\phi\) trong khoảng \([0, \arccos(u-1)]\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\), vậy \(u = 0{,}75\). Số hạng thể tích \(= (-0{,}25) - (-0{,}25)^3/3 + 2/3 = 0{,}421875\), suy ra \(V = \pi\cdot 24\cdot 0{,}421875 \approx\) 31,81. Mặt cắt phẳng có \(k^2 = 2u - u^2 = 0{,}9375\), diện tích \(= \pi\cdot 6\cdot 0{,}9375 \approx 17{,}67\). Phần chỏm cong tích phân ra khoảng 81,2, nên tổng diện tích bề mặt \(S \approx\) 98,9.
Câu hỏi thường gặp
Thể tích có chính xác không? Có — thể tích là kết quả dạng đóng, hoàn toàn không có sai số xấp xỉ.
Diện tích bề mặt có chính xác không? Mặt cắt phẳng được tính chính xác; phần chỏm cong được tính bằng tích phân số độ phân giải cao (\(64\times 64\) ô), đạt độ chính xác đến vài chữ số có nghĩa.
Nếu \(h > 2c\) thì sao? Chiều cao sẽ bị giới hạn về \(2c\), tương ứng với toàn bộ ellipsoid (lúc này diện tích mặt cắt phẳng bằng không).
