Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, kesik (kısmi) üç eksenli bir elipsoidin hacmini ve yüzey alanını hesaplar. Başlangıç noktası, orijin merkezli ve a, b, c yarı eksenlerine sahip, \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\) denklemiyle tanımlanan tam bir elipsoittir. c ekseni dikeydir; \(z = -c\) (taban) ile \(z = +c\) (tepe) arasında uzanır. Cismi yatay bir düzlemle keser ve \(z = -c\) noktasından yukarıya doğru ölçülen h yüksekliğindeki alt başlığı tutarız. Bu, tamamen evrensel bir geometridir ve her yerde geçerlidir — dört girdinin tümü, tek bir ortak uzunluk biriminde ifade edilen sade sayılardır.
Nasıl kullanılır?
Üç yarı ekseni (a, b, c) ve kesim yüksekliği h değerini girin. Yükseklik \(0 \le h \le 2c\) koşulunu sağlamalıdır; \(h = 2c\) değerinde tüm elipsoidi, \(h = c\) değerinde ise tam olarak yarısını elde edersiniz. Sonuçlar kullandığınız uzunluk biriminin aynısıyla verilir: hacim küp birim, yüzey alanı ise kare birim cinsindendir. Birim seçim menüsü bulunmadığından herhangi bir ölçeklendirme uygulanmaz.
Formülün açıklaması
\(u = h/c\) olarak boyutsuz dolum oranını tanımlayalım. Eliptik kesit alanı \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) ifadesinin tabandan yukarıya doğru integrali alındığında, kesin kapalı formdaki sonuç şudur:
$$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$Yüzey alanı iki parçaya ayrılır: alanı \(\pi a b\left(2u - u^2\right)\) olan düz eliptik kesim yüzeyi ve eğri yan başlık. Üç eksenli bir elipsoit yüzeyinin temel bir kapalı formu bulunmadığından, eğri kısım; elipsoit yüzey elemanının \(\theta\) için \([0, 2\pi]\) ve \(\phi\) için \([0, \arccos(u-1)]\) aralıklarında alınan sayısal (Simpson) çift katlı integraliyle hesaplanır.
Örnek hesaplama
\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\) alalım; buradan \(u = 0{,}75\) olur. Hacim terimi \(= (-0{,}25) - (-0{,}25)^3/3 + 2/3 = 0{,}421875\) olur ve buradan \(V = \pi \cdot 24 \cdot 0{,}421875 \approx\) 31,81 elde edilir. Düz yüzey için \(k^2 = 2u - u^2 = 0{,}9375\) olup alan \(= \pi \cdot 6 \cdot 0{,}9375 \approx 17{,}67\) olur. Eğri başlığın integrali ise yaklaşık 81,2 değerini verir; dolayısıyla toplam yüzey alanı \(S \approx\) 98,9 olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Hacim kesin midir? Evet — hacim, herhangi bir yaklaşım içermeyen kapalı formda bir sonuçtur.
Yüzey alanı kesin midir? Düz kesim yüzeyi kesindir; eğri başlık ise yüksek çözünürlüklü sayısal integrasyonla (\(64 \times 64\) panel) hesaplanır ve birkaç anlamlı basamağa kadar doğrudur.
\(h > 2c\) olursa ne olur? Yükseklik \(2c\) değerine sabitlenir; bu da tam elipsoide karşılık gelir (düz alan sıfır olur).
