이 계산기의 기능
이 도구는 잘린(부분) 삼축 타원체의 부피와 겉넓이를 계산합니다. 원점을 중심으로 하고 반축이 a, b, c인 완전한 타원체에서 출발하며, 식은 \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\) 입니다. c축이 수직 방향으로, z = -c(바닥)에서 z = +c(꼭대기)까지 이어집니다. 이 입체를 수평면으로 자른 뒤, 바닥 z = -c에서부터 위로 잰 높이 h만큼의 아래쪽 캡을 남깁니다. 순수한 보편 기하학이라 어디서나 똑같이 적용되며, 네 개의 입력값은 모두 하나의 동일한 길이 단위로 표현된 단순한 숫자입니다.
사용 방법
세 개의 반축 a, b, c와 자르는 높이 h를 입력하세요. 높이는 \(0 \le h \le 2c\) 조건을 만족해야 합니다. h = 2c이면 타원체 전체가 되고, h = c이면 정확히 절반이 됩니다. 결과는 입력에 사용한 동일한 길이 단위로 반환됩니다. 즉 부피는 세제곱 단위, 겉넓이는 제곱 단위입니다. 단위 선택 메뉴가 없으므로 별도의 환산은 적용되지 않습니다.
공식 설명
u = h/c를 무차원 채움 비율이라고 합시다. 타원형 단면적 \(\pi ab\left(1 - (t/c)^2\right)\)를 바닥에서 위로 적분하면 정확한 닫힌식 $$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$ 을 얻습니다. 겉넓이는 두 부분으로 나뉩니다. 하나는 넓이가 $$A_{\text{flat}} = \pi\,\text{a}\,\text{b}\left(2u - u^{2}\right), \quad u = \frac{\text{h}}{\text{c}}$$ 인 평평한 타원형 절단면이고, 다른 하나는 곡면으로 된 옆면 캡입니다. 삼축 타원체의 곡면은 기본 함수로 표현되는 닫힌식이 존재하지 않기 때문에, 곡면 부분은 타원체 면적 요소를 \(\theta\)는 \([0, 2\pi]\), \(\phi\)는 \([0, \arccos(u-1)]\) 범위에서 수치(심프슨) 이중 적분하여 계산합니다. $$A_{\text{curved}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\phi_{\max}} \sin\phi\,\sqrt{c^{2}\sin^{2}\!\phi\,(b^{2}\cos^{2}\!\theta + a^{2}\sin^{2}\!\theta) + a^{2}b^{2}\cos^{2}\!\phi}\;\, d\phi\, d\theta$$ $$S = A_{\text{flat}} + A_{\text{curved}}$$
계산 예시
a = 2, b = 3, c = 4, h = 3이라고 하면 u = 0.75입니다. 부피 항은 \((-0.25) - (-0.25)^3/3 + 2/3 = 0.421875\)이므로 \(V = \pi\cdot 24\cdot 0.421875 \approx\) 31.81입니다. 평평한 절단면은 \(k^2 = 2u - u^2 = 0.9375\)이고 넓이는 \(\pi\cdot 6\cdot 0.9375 \approx 17.67\)입니다. 곡면 캡을 적분하면 약 81.2가 나오므로, 전체 겉넓이 \(S \approx\) 98.9가 됩니다.
자주 묻는 질문
부피는 정확한가요? 네 — 부피는 근사 없이 닫힌식으로 구한 정확한 값입니다.
겉넓이도 정확한가요? 평평한 절단면은 정확합니다. 곡면 캡은 고해상도 수치 적분(64\(\times\)64 패널)으로 계산하므로 유효숫자 몇 자리까지 정확합니다.
h가 2c보다 크면 어떻게 되나요? 높이는 2c로 제한되며, 이는 완전한 타원체에 해당합니다(이때 평평한 절단면의 넓이는 0이 됩니다).
