정사각뿔대란?
정사각뿔대는 절두 정사각뿔이라고도 하며, 정사각뿔의 꼭대기를 밑면과 평행하게 잘라내고 남은 입체입니다. 한 변의 길이가 a인 정사각형 아랫면, 그 바로 위에 평행하게 놓인 더 작은 한 변 b의 정사각형 윗면, 두 면 사이의 수직 높이 h, 그리고 합동인 이등변사다리꼴 모양의 옆면 4개로 이루어집니다. 이 계산기는 하나의 길이 단위를 일관되게 사용하면 되며, 부피는 그 단위의 세제곱, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다. 순수한 기하학 공식이므로 어느 나라에서든 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
아랫변 길이 a, 윗변 길이 b(완전한 정사각뿔은 0, 직육면체는 b = a로 입력), 그리고 높이 h를 입력하세요. 세 값은 모두 같은 단위를 사용해야 합니다. 계산기는 부피, 사다리꼴 옆면 4개의 옆넓이, 위아래 정사각형 면을 포함한 전체 겉넓이, 그리고 옆면의 빗변 높이(사선 높이)를 알려줍니다.
공식 설명
부피는 각뿔대(프리즈마토이드) 일반 공식 \( V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right) \)를 사용합니다. 정사각형 면이므로 \( A_1 = a^2 \), \( A_2 = b^2 \)가 되어 다음과 같습니다.
$$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$옆면 하나는 평행한 두 변이 a와 b이고 빗변 높이가 다음과 같은 사다리꼴입니다.
$$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}$$사다리꼴 하나의 넓이는 \( \frac{a+b}{2}\cdot\ell \)이고, 4개를 더하면 옆넓이 \( S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell \)이 됩니다. 여기에 위아래 정사각형 면을 더하면 전체 겉넓이 \( S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2 \)입니다.
계산 예시
a = 2, b = 1, h = 1인 경우를 봅시다. 부피 \( = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2.33333 \). 빗변 높이 \( \ell = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118034 \). 옆넓이 \( = 2(3)(1.118034) \approx 6.708204 \). 전체 겉넓이 \( = 6.708204 + 4 + 1 \approx 11.708204 \).
자주 묻는 질문
윗변이 0이면 어떻게 되나요? 뿔대가 완전한 정사각뿔이 됩니다. \( V = \frac{h\cdot a^2}{3} \), \( S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \)이 됩니다.
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 직육면체(정사각기둥)가 됩니다. \( \ell = h \), \( V = a^2 h \), \( S = 4ah + 2a^2 \)입니다.
단위를 꼭 정해야 하나요? 아니요. 하나의 길이 단위만 일관되게 사용하면 됩니다. 결과는 그 단위의 세제곱(부피)과 제곱(넓이)으로 나옵니다.
